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【andrewshen的回答(323票)】: （评论中的很多质疑促使答案的进一步完善。分成三部分总结在下面。） （很多评论反映看不懂，所以稍微补充了一些细节并且对第一部分增加了一些并不严格的说明，用斜体标出。） （看到评论有讨论错位相加的。补充此处错位相加是不合法的一个简单例子。） （补充解析延拓的内容，这样有一个更完整的看法。补充了一个总结。）
这个问题依赖于数列极限的定义。 考虑Cauchy的数列极限定义：如果数列
（部分和
）收敛于有限数
，则对于任意
，存在正整数
，当
时，
。即加的项数足够多以后，部分和
与
“要多接近有多接近”。在这个定义下级数 
是不收敛的。这可以通过Cauchy收敛定理加以说明：任何收敛的级数其通项必须趋于
。显然这个交错级数不满足这一性质。其实从上面的定义中可以看出部分和在
和
之间来回震荡，不可能稳定于某个
。 数学家为了让这样的数列收敛，就修改了数列收敛的定义。其中一个就是Cesaro平均收敛。Cesaro和的定义只需要
收敛即可，即相当于对
求平均值。在这个意义下级数收敛：
在
和
之间来回震荡，它的平均值是
。 所以问题归根结底是我们对“和”的定义不同。但是Cesaro和与Cauchy和的定义是相容的，即如果一个数列在Cauchy和的意义下收敛于
，则在Cesaro和的意义下也收敛于
，但反之不然。 有关发散级数在其他意义下的求和还有很多，比如Abel和定义为
。容易证明Abel和比Cesaro和更强：如果一个数列在Cesaro和的意义下收敛于
，则在Abel和的意义下也收敛于
，但反之不然。一个反例是
，这个数列在Abel和下收敛于
，但不能Cesaro求和。其他一些例子可以参考：发散级数。 所有自然数的和这个级数在Cesaro和Abel和的意义下都不收敛。因此为了得到
我们还需要更进一步的看法。 有关错位相加 至于视频之后的计算几乎是毫无道理的。条件收敛的级数不能随便改变求和顺序，更不必谈原本就发散的级数。所以错位相加是毫无道理的。可以举一个例子。考虑级数
，
，这两个级数显然都是发散的。但是如果我们将其错位相加，如果错一位得到的结果便是
（或
，取决于你错位的方法），错两位便是
（或
）。不同的错位方法得到的结果不同，错位相加自然不是一个合理的计算方法。
这个结论曾经出现在A.Zee的《Quantum Field Theory in a Nutshell》关于Casimir effect的推导中。具体可以参考1.9 Disturbing the vacuum一节。在弦论中也出现过很多类似的求和。这也就是说，
这个奇怪的结果有确实可观测的物理效应。这已经不是单纯利用定义的不同所可以解释的了。 在A.Zee的关于Casimir effect的推导中，所用的解释是板振动的频率不可能无限高，高于某个截止频率
以后的项都要忽略最终得到这样的结果。他所采用的方法是为
配了一个
的“权重因子”，再对权重因子求和，当
时展开保留第一项，这是一种常见的方法。下面的这段计算来源于Polchinski的String theory的书后习题：
。它在
附近的Laurent展开是
。在Casimir效应中第一项被真空中的零点能抵消，所以只剩下
。真空中的零点能也出现在弦论中，而且弦论中类似的计算中第一项也会被消去。这种扔掉无穷大的方法实际就是重整化的方法。
。如果在上式中令
，似乎就得到了
的结果。但要注意上式只有在
的区域内收敛，令
实际上是对相当是对
作解析延拓到全平面（除了
）的结果。 因此所有自然数之“和”是
其实还有一种更简单的看法。注意到黎曼ζ函數的定义是
。所谓所有自然数之“和”便是
。在解析延拓的意义下，
。 解析延拓很不直观，这个结果和我们之前有关的结论能否对应？答案是肯定的。在陶哲轩的博文The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation中，便提到解析延拓和光滑渐进形式的联系。在第一部分陶哲轩把一个级数改写成smoothing sum的形式并且估计smoothing sum的余项。第二部分用这个渐进形式可以得到和解析延拓的关系。这篇文章答主并没有仔细阅读过，感兴趣的同学可以自行阅读。
数学家是这个世界上最严谨的一批人，他们谈论什么都有据可循。事实上，数列极限本身就是一个有严格定义的概念（可见答案最开始处的
定义）。所有学过微积分的同学不妨问自己
中这个等号的意义是什么，和
中的等号是否意义相同？一个严肃的数学家绝对不会轻易写下“
”，而是可能会告诉你这是在Cesaro和意义下的结果或是解析延拓意义下的结果，这里等号的意义已不是
中的等号或是
等号的意义。 至于在解析延拓的意义下
这个式子为何会有物理上的效应，这是另外一个问题。粗略地说是因为解析延拓可以反映求和的某些渐进行为。而这背后蕴含的则是物理中重整化的思想。 【YaoCAI的回答(112票)】: 个人认为，诸如这类问题，行外人就不要过多凑热闹了，都需要极其严密的理论基础，其意义非门外汉能想象。比如对于Riemann Zeta函数，为什么负偶数全都是零点？这绝非仅掌握了四则运算便能回答的问题，而事实上网上大部分这类问题的关注者也就是仅仅掌握了四则运算而已（或者最多学过一些简单的不严密的微积分知识）。所以说，门外汉关注这类问题没有意义，等同于民科。有时间凑这个热闹，有这个兴趣，可以去看专业数学著作，也是好事。 【知乎用户的回答(21票)】: 补充一点观念上的东西： 很多人可能忽略了一个问题，为什么要计算1+2+3+4+...这个在大家看来明显很蛋疼的级数。如果看了陶哲轩博文的前半部分，就会发现他透露出了一个观点： 与其说"算"出一个发散级数的和，不如说寻找某种方法来反映出级数部分和的某些渐进性质。 而具体为什么要关心这些渐进性质，在不同的应用情况下是不一样的。比如提到的自然数和与
函数的解析延拓的关系，事实上
函数的解析延拓在素数定理的一个证明中是非常关键的。虽然没有直接用到1+2+3+4+...的计算，但是可以间接给出对1+2+3+4+...这个发散级数的“和”的一个理解，或者认为是一个”重新定义“。参见维基百科条目Ramanujan's summation. 这里再举一个例子，有兴趣的同学可以参考黑川信重、栗原将人、斋藤毅的《数论II－岩泽理论和自守形式》，在9.5节展示了许多奇怪的乘积公式比如：
以及
倘若将这些乘积按照四则运算的方式来理解，显然没有任何意义。但是这里我们玩儿了一个把戏: (这以下的内容可以忽略) 在数列
有限的情形下，设最大的下标为
，那么
，而且
若对于无穷数列
，取
，而且我们希望
可以解析延拓为全纯函数，那么我们不妨“强行”重新定义一个数列的无穷乘积为：
按照这个“强行重新定义”，我们就有了类似于
的奇怪公式。 （可忽略内容结束） 然而为什么要这样去做呢？是因为用这种重新定义的无穷积，可以把许多公式比如书中举的Kronecker极限公式写成更清晰的形式，来挖掘出更多的有用信息，并不是因为蛋疼或者为了哗众取宠娱乐大众。许多这种无穷积的快速的应用和模判别式(modular discriminant)
有关，比如证明它的变换公式、求它在
处的值等等。 然而这种乘积表示有更深刻的类比意义，但是除了一些“形式上”的理解之外我对这方面不是特别了解。 所以若对我的这些解释加以总结，可归纳为如下几点：
希望这些有帮助。 【李巨格的回答(4票)】: 楼上几位对问题的数学背景解释得很清楚了。这里我想说一下，为什么流传很广的视频里的做法会得出正确的结果。 1.首先，计算1-1+1-1+...，这一步用到等比级数求和公式
，当t=-1时左侧不收敛，但我们可以形式地定义其等于右侧，即1/2。 2.错位相加，严格说不符合级数操作规则，但从幂级数在收敛范围内的操作上看依旧可以有意义。考虑到
在t=-1时当好等于1-2+3-...，注意到
，当我们形式化地把t取为-1时，在表面上就出现了错位相加的样子。 3.这一步最为有趣，最早可以追溯到L. Euler，让数学公式自己说话吧。
而后
形式化地取s=-1即得。 可以看到，这里的关键在于解析函数之间的关系，在解析延拓之下保持不变，因此我们可以在级数收敛范围内操作级数，并将得到的函数关系延拓到级数收敛的范围之外。 最后老生常谈地说一句，数学基础严格化的意义在于拓宽我们能做的事，而不是限制我们的想象力。 数学的本质在于自由。—— G. Cantor 【风力的回答(1票)】: 用我的语言描述就是，这是一种定义方法。不用扯什么高深理论，谁都知道正数加在一起不可能是个负数，除非你对“加在一起”这个过程有特殊的定义——事实上在视频一开始，他就要求我们先承认发散级数的“和”是一个平均数。你同意这个定义，一切顺理成章。你不同意这个定义而喜欢别的什么（英文名）或（英文名）的定义，在那些体系里也一切OK。你觉得这都太麻烦了，我就要用小学数学的定义，那正数加在一起，就永远都是正数，你就可以说“我不喜欢你这个定义”。只要你在你定义的那套体系里能自圆其说，谁都不能把你从这个乐园，不管是不是康托尔建造的，里面赶出去。事实上我们用这套“正数加在一起不会是负数”的理论用得也挺好的嘛。 嗯随便举个例子，你认为罗巴切夫斯基会怎么看黎曼？/duel？中单人狗局，谁赢谁有理？或另一个例子，对同一个系统有人爱用平面直角坐标系，有人爱用极坐标系，这有对错之分吗？定义区别罢了。 Dim/Redim Rules,sir 【王尧的回答(10票)】: 短答案。 所有自然数的和是负十二分之一 是错误的。 长答案 严格的说，楼上的答案都没有提到的是。 注意到 自然数本身是一个环 N（ring） 环对加法封闭 所以自然数的和应该是一个自然数。所以应该是－1／12，因为这个数不是自然数。 上面的回答上用到的自然数，严格的说，不能算是自然数。 因为一旦涉及解析延拓，就自然用到了复数。 所以这里的自然数也实际上不是自然数 而是自然数在复数域上的映射。 就是说，他们告诉你计算的是 1+2+3+4...... 在自然数环 N中 实际上他们考虑的是 1+0i +2+0i+3+0i＋4＋0一..... 在复数域C中。 这属于偷换概念。 【王浩帆的回答(4票)】: 我没看这个视频，但遥遥记得当年学微积分的时候，老师说过像这种发散的级数的和可以是任意值，换一换求和顺序什么的就能算出不同的数。我看到维基百科上发散级数这个词条里就列了三种求和方法，用这三种方法算自然数的和都是-1/12。 哦，发现自己说的错了很多，果然好久不学数学了……不过上边维基百科的链接还是可以看一下的…… 【赵俊的回答(4票)】: 简单地说： S1 = 1 - S1，直到这里都是正确的； 但S1不是一个常数。 简单算算就知道，S1有时为1，有时为0，所以1 - S1也是有时为1，有时为0。（这种说法并不严格，只是提供一种易于理解的方式）（准确地说叫做不收敛。。。大家都知道的哈） 所以，S1不等于1/2。 从那之后的所有证明，都是基于一个基本假设，假设这些和都是存在的，而且都是常数。视频作者就是基于这种，初等数学里面的基本假设，来证明出有悖与常理的结果。 所以，世界上永远有我们难以理解的东西。 【知乎用户的回答(5票)】: 在数学上，不收敛的级数在一般意义上没有和。 但是由于学科的需要，我们可以用其他方式定义一些发散级数的和。 切萨罗求和 令 {an} 为一数列，且令
为数列前 k 项的部分和：
若以下的条件成立，则此数列 {an} 的切萨罗和存在，且其值为α。
视频中S1的计算应该这样定义。 因为 s1=s3=s5=......=s(2k+1)=1 s2=s4=s6=......=s(2k)=0 所以 上式中α=1/2，也就是数列{an}的切萨罗和为1/2。 【dartyinsoh的回答(2票)】: 我們都知道自然數是aleph 0，可數但無窮大，跟有理數一樣。@andrew shen 提到像A. Zee的書為例子QFT裏的想法比較有意思。QFT裏我們做perturbation (簡單說就是Taylor expansion) 去計算物理觀測量通常會遇到無窮大，因爲點粒子也就是場，自由度可以是無窮大，quantum correction會發散，譬如我們計算的電子質量。這需要我們用renormalization去考慮物理觀測量的問題。但物理上我們觀測到的電子不是點粒子，而是周圍dress up with photon cloud的電子，所以就算數學上裸電子的質量發散也不緊要，我們更關心當我們每切開一層photon衣裳時(就是“权重因子”的一個項)時correction是怎樣變化，以及對於所有同類粒子(參與electroweak interaction)這個相同的無窮大跟原本裸粒子無窮大cancel 後的有限的觀測值。當然物理上我們也不可能達到無窮小的點粒子，因爲到Planck scale所有我們已知的物理都失效。而在這個scale下我們也要憂慮部分裸粒子能量的引力效應。 【lukeluke的回答(0票)】: 楼主太坏了。。翻了视频，还在这里问。。。你不是都知道是-1/12么？ 【李伟的回答(0票)】: 这是证明的0.5的文章， 来自煎蛋：小学堂: 表情帝解释 1-1+1-1… = 0.5 我的数学能力也就停在高中，谈谈我的理解。 视频之后的推理都源于0.5这个证明的成立， 所以这个0.5的概念非常重要。 请各路英雄给予证明开头的0.5视频中提到了一个概念开灯代表1，关灯代表0，
那1，0，1，0，1，0，1，0...代表什么呢？ 换成开关灯就变成 开灯，关灯，开灯，关灯... 现在开灯照一张照片，关灯照一张照片， 用编辑软件一帧一帧排开， 记录一段时间后， 在极短的时间快速播放会变成什么， 我想是个接近于亮（开灯）和暗（关灯）之间的画面。 所以这个0.5就代表在短时间内所有开灯和关灯照片形成的画面。 但是我个人认为这是个动态的和，就是把所有情况集中在某一点表现出来。 而不是那个我们学的和现实中经常使用的1+1=2的意思。 如有错误和无知，欢迎指正。 【丁亚龙的回答(0票)】: 0 【墨眉的回答(0票)】: 不想打字 S2[n]=n/2 【十二玉楼的回答(0票)】: 世界由正常人组成 却由疯子创造 一手指天 一手指地 问你什么上天入地 唯我独尊 答案是我 这个问答如果能模模糊糊的有那么一点感觉 那么负十二分之一也就不那么意外了 也许真正的数学真的不是只建立在1+1=2的基础上 从最初为了分配的需要 数学从基数的概念起步 而到了今天 科学与哲学越越越近 乃至擦枪走火 那么新的需要便诞生了 【HaochenLiu的回答(1票)】: 如果只是数学纯票友，可以看这个小视频： 【Aufheben的回答(0票)】: 我第一次看到这个是从拉马努今传看到的，第一个提出的人貌似是他。 【李鑫的回答(3票)】: 1+2+3+4+5+...=-1÷12？？！ 快点点赞 等啥呢！ 弦理论的东西 【知乎用户的回答(0票)】: 。 。。 。。。 。。。。 。。。。。 。。。。。。 。。。。。。。
…… 是可数的 所以是可数正无穷?0 ps. 其他答案在说什么呀？！ 【知乎用户的回答(5票)】:
原文地址:知乎 |
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