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摘要：随着高速公路和高速铁路的发展对线形提出的新要求，一些专家认为，缓和曲线除了单一的回旋线外必然需要补充高次曲线或其他类型的曲率渐变曲线，因此需要找到一种适合于多种类型曲率渐变曲线敷设的缓和曲线的坐标的正、反算方法。提出各种类型缓和曲线的任意点坐标计算的通用方法和适合于各种类型缓和曲线坐标反算里程的方法，并对其精度和特殊情况进行分 析，通过实际应用，证明其实用性和可靠性。 关键词：缓和曲线；曲线计算；Simpson公式；切线迭代法 在高等级公路、铁路上，当车辆从直线驶入圆 曲线时，为了满足车辆行驶轨迹的变化规律，在直线和圆曲线，圆曲线与圆曲线间均设置了缓和曲线。传统的缓和曲线设置方式主要采用回旋线敷设，除在假定汽车作等速行驶的情况下回旋线与汽车南直线驶人圆曲线的轨迹基本相同外，主要还因为习惯和计算的方便，因为其他一些曲线敷设缓和曲线的计算工作量相对较大，计算过程也比较繁琐和复杂，容易发生错误。但是现在一些研究认为回旋线不仅不能符合汽车的行驶规律，而且车辆在曲线上不能变速行驶，在起点和终点产生曲率突变点，影响行车质量和线形的美观。近年来，一些学者提出使用凡次抛物线叠加敷设缓和曲线，不仅方便了测设工作，也使线形变得连续、顺滑。用高次抛物线作缓和曲线，法国工程师夏克和诺化早在1865年和1867年就曾提到，C·詹姆逊和E·w·克林于1889年加以详细论述旧J。日本东海道新干线采用半波正弦型缓和曲线，英国和法国高速铁路采用三次抛物线改进型缓和曲线。我国铁科院铁建所经过大量实验研究，建议最高速度为160—250 km／h的客运专线宜采用半波正弦型缓和曲线，等等。除了主线外，在匝道、渐变段边线以及服务区进出口等部位，需要使用不同类型的曲率渐变曲线。在城市道路中曲线运用种类也在增多。因此，根据前路线线形的使用要求和计算机技术的发展趋势，缓和曲线除了单一的回旋线外必然需要补充高次曲线或其他类型的曲率渐变曲线。现有的关于缓和曲线的坐标正反算的研究都是回旋线，如文献[4～8] 中论述，而对其他高次曲线敷设的缓和曲线，国内几乎没有研究。为满足新的设计和施工需要，本文对其他常用类型缓和曲线的坐标的正、反算进行研究，以便于设计与施丁；本文研究并给出了多种类型缓和曲线的任意点坐标计算的通用方法和适合于各种曲线的由坐标反算里程的通用方法，并对其精度和实用性进行了分析。 一、多种类型缓和曲线的任意点坐标正算 1．多种类型缓和曲线曲率 由于同旋曲线上任意点坐标的计算在各种书上 和文章中介绍得很多，在此重点介绍经常用于道路和铁路等其他各种类型缓和曲线的任意点坐标计算。各种类型缓和曲线的曲率k计算公式例如下： 2．任意点坐标计算的通用方法 下面以三次抛物线为例计算曲线上任意点坐 标(建立以缓和曲线起点为坐标原点的直角坐标 系，起点的切线方向为X轴，与X垂直方向为y轴)。采用类似的方法可以计算出其他类型缓和曲 线上任意点的坐标和进行精度分析，使其在实际工程中满足要求。 3．采用复化Simpson公式求解不同类型 缓和曲线的任意点坐标及精度分析 二、适合于任意曲线敷设的缓和曲线坐标反算里程方法 已知坐标求里程，在直线和圆曲线上都比较简 单，但是缓和曲线相对比较复杂，因为按照求坐标的公式变换来的求曲线长的公式都是一元高次的方程，要求解精确解相对困难，下面介绍一种适用于任意曲线的线路坐标反算里程的方法——切线迭代法，该方法适用于中桩、边桩，完整或非完整的缓和曲线，简单适用。 1．切线迭代法坐标反算里程的基本原理 以中桩坐标为例，如图1所示，0为曲线上某一 已知桩号的点，JP为曲线上待求桩号的点，用该点与起算点的距离、起算点的切线、点P到切线的垂线构造直角三角形，用切线长来作为里程迭代增量，再用该求得的点作为起算点继续进行迭代，当起算点的切线与P点的切线重合时，迭代收敛。此时的切线长为零，角差△Vi为零。若任意点为曲线段上的中桩，则迭代的增量将是同号的。 2．非中桩上的点坐标反算里程 原理和中桩坐标上的点反算里程的原理一样， 如图2所示。同样用该点与起算点的距离、起算点 的切线、点P到切线的垂线构造直角三角形，用切 线长来作为里程迭代增量，再用该求得的点作为起算点继续进行迭代，当起算点的切线与P点的切线重合时，迭代收敛。此时的切线长为零，角差△Vi为零。只是在非中桩的点反算坐标里程的情况下，有可能出现迭代的切线长大于该点的中桩所对应曲线的长度，则此时迭代点将在该任意点对应中桩点的里程之后，而此时的两个方位角夹角为钝角，迭代的增量将出现负值，计算结果仍然满足我们的要求。该方法可以用于各种曲线，不管是右偏曲线、还是左偏曲线，而且不管从前往后迭代还是从后往前迭代，由于计算公式自身的优势都可以满足要求。 3．切线迭代法坐标反算里程中的多解和 无解问题及其处理回头曲线为互通式立交桥、盘山公路等特殊建筑物所特有的线形，切线迭代法会出现任意点在圆心或离中桩距离大于圆心的情况，这种情况下求得的解也许是负里程，也许有多个解，但肯定不是所要的解，这样所求得的解是没有意义的，称之为无解情况。无解情况在工程实际中是不存在的，边桩距大于或等于曲线半径的路是不存在的。在回头曲线上也无法避免多解的情况，故采用切线迭代法计算时将借助于该里程的一个较近的里程点的坐标来进行计算，主要避免多解情况，该里程称为辅助里程。这样算出的结果只有一个，即多解中的最近里程。如图3所示，点P所对应的中桩应V，若是起算点选在Q点，则计算结果为Q点的里程和PQ的长，若起算点选在Q点之前的M点，则计算结果又分两种情况，即当差角△V为锐角时，计算结果为Q点的里程和Pp的长；而当差角△V为钝角时，计算结果为A点的里程和AP的长。因此就出现了多解的问题，所以在回头曲线中必须设辅助里程点(即起算点需要事先选择)，否则将很有可能导致计算结果出错。这是回头曲线上存在的问题，可以用选择辅助里程点来避免，如选择如图P点附近的N点。而一般公路上(如高速公路)则此0点可直接用线路上任意点作为起算点从头至尾来反算任意点的里程。 4．切线迭代法精度分析 对于一般隋况，迭代的次数越多，精度越高。迭 代的增量越小，结果越接近准确值。对于一些特殊情况，从前面的多解及无解的情况可以看出，除满足一般情况外，还有一些特殊要求。在多解及无解的情况下，当任意点离中桩的距离大于等于半径就会出现问题，这里就出现一个比值，即D／R，当D／R大于1时，多解或无解；D／R等于1时无解；D／R小于1时，D／R的值越大，其精度就越小，值越小，则精度越高。因此，在小半径的曲线上，该方法的精度较低，而在大半径曲线或是直线上所求得的解的精度则较高。对于坐标反算里程的成果验证，只需将反算得到的里程与边桩距代入正算公式进行计算，把计算得到的坐标与 任意点坐标进行比较来验证结果的可靠性。 三、实例 某高速公路的某个交点处，我们采用了三次抛物 线敷设缓和曲线，缓和曲线全长137．800 m，圆曲线半径为400 m，ZH点桩号：K0+071．105，HY点桩号：K0+208．905，用本文的方法计算求得的数据如表1所示。 四、结束语 目前，我国高等级公路、铁路建设迅猛发展，设 计理念不断更新，线形选择、设计更加注重安全、舒适、美观大方而不过分考虑经济因素，缓和曲线不仅仅局限于回旋线，其他一些高次曲线也将大量引人到线形设计当中，因此研究一种适用于各种类型缓和曲线的坐标正、反算的方法非常必要。本文提出的任意点坐标计算的通用方法和曲线迭代法反算里程的方法简单、方便、适用，并且对其进行了精度分析和各种特殊情况下的分析和处理，通过实际的应用，满足生产要求，具有较高的应用前景。 |
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