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周期问题 周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题。这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 例如： 闰 ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除； 平 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除。 例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……像这样继续下去，到第2003个小球该涂什么颜色？ 分析 小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以判断球的颜色。 解 2003÷15=133……8 这就是说，第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个，所以第2003个小球涂的是黄色。 例[2] 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，… （1） 第81个数是多少？ （2） 这81个数相加的和是多少？ 分析 （1） 从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。 （2） 之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。 解（1）81÷5=16……1 按照循环次序可知：第81个数为7。 （2）17×16+7=279 所以这81个数相加的和为279 例[3] 假设所有自然数排列起来如下图所示，55应排在哪个字母下面？248应排在哪个字母下面？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . . . . . . . . . . . 分析 从排列情况可知，这些自然数按从小到大4个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数除以4的余数来判断。 解 55÷4=13……3 所以55排在第3个字母C的下面。 248÷4=62 所以248排在第4个字母D的下面。 |
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