信号与系统(2): 从Fourier变换到Laplace变换

       3. Fourier变换的优越性和局限

       用卷积分的方法描述一个系统的输入输出关系，仍然不是很直观。可是自从有了Fourier变换后，一切都变得不一样了。因为在时域内的卷积分等价于在频域内的相乘。这样，将信号和系统从时间域变换到频率域后，输入输出的关系就成为：输出等于输入和冲击响应的相乘（这个证明非常简单，通过简单的积分变量代换就可以了，在这里就省略了）。

       

        有了在频域内的这个关系，我们就可以通过设计系统的频率响应达到对信号进行处理的目的。设计的这样的系统，称为滤波器（filter）。例如，我们需要设计一个系统滤除某个频率的信号，那么只需要设计的滤波器在频域内在该频率处的响应为零就可以了。我们需要放大某个频率的信号，我们只需要设计的滤波器在某个频率处呈现较大的值就可以了。在后面的学习中，就会知道，这种设计滤波器的方法称为“零极点配置法”。当然滤波器的设计远没有这么简单，还需要考虑其动态特性。在你彻底了解了各个变换以后，你就会对滤波器的设计得心应手，随心所欲。

        Fourier变换的好处是将卷积分变成了相乘，使得输入输出关系变得很直观（在频域内）。但Fourier变换一个致命的问题是对信号有很高的要求，要求信号必须是绝对值可积分的，否则信号的Fourier积分不存在。即：

       

        很显然，在工程中的大多数信号是不符合这个条件的。例如电力系统中的电压电流信号属于功率有限、能量无限的信号（简称功率信号，对于功率有限信号、能量有限信号，会在下面进行详细的描述）。

        4. Laplace变换

        为了能够让Fourier变换有意义，Laplace想了一个很聪明的方法，就是将信号加上一个衰减，即将被变换的信号乘上一个衰减因子：

       

        这个衰减因子如图所示

       

        然后再进行Fourier变换：

       

        这就是著名的Laplace变换，可见创新有时候也不是一件很困难的事情。也许你灵机一动，你的大名就永垂史册了。可是你肯定会问：衰减系数Sigma到底取多少呢？无论多少，只要能够令Fourier积分有意义就可以了。所以，那些所有能够让信号f的fourier积分有意义的衰减因子组成的集合，称为收敛域。那个刚好使得其Fourier变换没有意义的那个衰减系数，叫收敛边界。因果系统的收敛域一定在收敛边界的右半边。

        如果收敛边界Sigma是正的，这就是说必须将信号f(t)加以衰减后，其Fourier变换才临界有意义，说明f(t)本身就是发散的。反之，如果收敛边界是负的，这说明将信号f(t)发散了以后，Fourier积分临界存在，这说明信号本身是收敛的。我们知道，线性系统可以用冲击响应来表征，如果系统的冲击响应是发散的，说明系统是不稳定的，反之系统就是稳定的。这说明，Laplace变换不仅扩展了Fourier变换的范围，而且还增加了一个功能：判断系统的稳定性。即系统冲击响应的Laplace变换（自动控制理论中叫传递函数）如果其极点存在正的实根，说明这个系统的冲击响应是发散的，即系统是不稳定的，反之系统就是稳定的。

        事实上，当你彻底了解了Fourier变换和Laplace变换的关系，并熟练掌握系统的Laplace反变换的时候，我们就可以很轻松的设计模拟滤波器了。因为，对于一个线性系统而言，我们在频域内总可以用下面的有理多项式的分式来表征系统。它的反变换就是该系统的冲击响应。至于如何设计模拟滤波器，后面将会有专门的章节进行讨论。我们在这里点到为止。

        随着计算机技术的发展，我们通常先将信号进行采样后，变为数字信号（或称离散信号），我们同样需要对数字信号进行处理，也需要设计数字滤波器或数字系统来实现我们的功能。同样道理，我们需要对其进行频率分析。那么离散信号的傅里叶变换是如何定义的，离散信号与其采样的模拟信号之间存在一个什么关系？DTFT和DFT的区别是什么？为什么有了离散的Fourier变换，还需要z变换？请看下一讲。