向前进, 你就会产生信念.
——达—朗贝尔
傅利叶变换是信号系统的奠基石，小波分析的基础理论，理论的粗疏理解固然不难但是
要达到深刻的境界，是不能仅仅依靠教科书的
由于本次讨论持续时间较长，参与面较广，合集再给予m之后效果反而不佳
为避免讨论湮没，因此在此简略加以总结，鄙下仅仅负责发帖，所有版权全部归于以下
几位IE学长：
Valetine，QueueingSys，zekong，vole，filestorm, dwang
Q1:为何要在通讯中使用傅利叶变换？(fingers)
A11:
一个函数的傅立叶变换，本质上是把函数分解到一个垂直的坐标系， 每个坐标分
量称为频率，
在这个坐标系下的系数（本身是一个函数），我们称它为这个函数的频谱。
人们想理解怎么样能够控制信号在不同频率下传递 ，因为自然介质对不同频率信号响应
不同。然后还要考虑如何能够在改变信号频率前后，最小程度的减小或者增大某些量，
比如信噪比，或者熵，或者其他度量。傅立叶变换可以对这些问题提供工具。数学上，
也更容易操作。
傅利叶变化在工程和物理中使用十分广泛。（Valetine）
A12:
Fourier Transform是把给定信号用一大堆简单周期信号做一个线性叠加。
那一大堆简单的周期信号可以认为是基。这个基很nb，具有很多性质，比如正交。同时
，还存在一种快速算法。所以总的来说Fourier Transform实在是只应天上有的完美理论。
(filestorm)
Q2:请问．如果对于本身是正旋波的信号．频率比如说是５ＭＨＺ,做过傅立叶变换．那
频率是否仍然还和原来相同？
A21:
正弦波座傅立叶变化后就不是周期性的了，所以也就不存在什么频率了
但是这个变化的冲激是位于５ＭＨＺ和-５ＭＨＺ处(dwang)
A22：
首先, Fourier变换只是给人们提供另一个视角去看信号而已.
有人认为时域看信号直观些
有人认为频域看信号直观些
还有人喜欢即从时域又从频域看信号, 这要看应用场合的.
讲得再远点,除了时域和频域,你还可以从s域去看信号呢(利用Laplace变换)
另外,同一个信号,是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,无论你从哪个域去看.
从时域看一个sine wave, 以时间为x轴,信号的波形是repeated的,
所以人们很直观地认为那是"周期的"
从频域看一个sine wave, 以频率为x轴, 信号的"频谱"是2根"脉冲"
但它仍有频率,仍是周期的。(QueueingSys)
A23:
傅立叶变换是一个数学工具，它能把信号对角化到不同的频率。但是信号本身的性质和
傅立叶变换没有关系，就是说，不管你做不做傅立叶变换，一个信号还是它本身，比如
5Mhz
依然不变。只是换了坐标系来考虑和处理信号，在这个坐标系下操作的好处，就是所有
的频率对应于某一个内积是垂直的。(Valetine)
A24:
1. X1+X2+X3+..+Xn 三个未知数服从不同的分布，想求在其和小于常数K的概率。
一种是在时域上解的话是n重积分，极其繁琐。
一种是用蒙托卡罗模拟，但得到的结果不是解析解，有方差。
一种是用傅立叶变换变到频域，指数项使+变成了X，化简以后，使用反变换，这里有
很多快速数值算法，比如经典的Euler算法。这要比第一种简单很多。
2. 假设你对T时间内的invariant的分布建了模，而你在其分布特性不变的假设下想求N
T时间的分布的话，如果T时间分布模型是使用拟和等统计方法得到的话，时域是根本无
法得到的。 只有转到频域利用projection的特性，再转回来。(zekong)
A25:
信号无论在哪个空间下，都是有频率的。但是上文说到的“不存在频率”是指Four
ier Spectrum上再对frequency求frequency，一般来说，这很难找到一个说得通的物理解
释。
但这个操作是有据可查的，叫做Liftering，一般工程上Fourier Analysis文献甚少有纪
录而已。实际上是可以用来做一些奇怪的检测。(filestorm)
Q3:谈谈傅利叶变换
A31:感觉大多咱们研究的都是实直线上的可测函数类，这里可测指的是Lebesgue可测（
勒贝格可测），如果说 Lp（IR)指的是IR（实直线）上的可测类，则应该满足：
L积分（|f(x)|^p)dx有界
L无穷（IR）指的处处有界函数类
一般来说感觉咱们研究的傅立叶变化实际只是很初等的L1（IR）上的，L2（IR）
本身Lp空间就是一个Banach空间，成立Minkowski不等式，Holder不等式，及Schwarz不
等式，赋予内积后，即变成一个Hilbert空间。
当f(x)属于L1(IR)时，F(w)属于L无穷（IR），并且再L1(IR)上一致连续
如果f(x)属于L2(IR)，那么傅立叶变换L2空间到L2空间的映射
如此有很多值得分析的结论和定理....
分析学东西很多，虽然都很精彩但理解起来总突然感觉自己原来还是很多不清楚
对于咱们工程应用更是接触的少，比如随机过程就算搞的再熟，也不过就是多了几种建
模方法而已，什么排队论啥的而已
当一旦发现如果A是X的一个simga环，（A，X）构成一个可测空间，uX=1,时可测集变成
了
随机事件，而(A,X)才构成了概率可测空间时，才发现我们学很多东西是忽略的东西更多
.(vole)
A32:
如果要从泛函的角度讨论的话，那么数学分析里一些最困难的问题都会归结到傅立叶分
析（或者调和分析）上。
工程上，大部分时候都是以“拿来主义”的态度，数学家列个表格傅立叶变换，工程师
直接用就是了。但是如果真的要从定义出发，很多非常常用的函数，就很难做傅立叶变
换。
比如冲击信号，阶跃信号，或者高斯分布，要严格的定义的话，需要用泛函的知识。前
面的讨论就是这些知识的基础。
当然如果不研究数学，并不影响任何人用这些结论。
理解傅立叶变换基本的性质，稍微看一些调和分析，泛函的书（如果你觉得有必要知道
那些列表是怎么来的），多想想为什么要用卷积来描述系统对信号的响应（对卷积的理
解很可能是最重要的），这些基本问题个人认为是核心。
而且可以看到，同样是傅立叶分析，大家的讨论却是大相径庭，有从estimation的角度
，有从纯数学的角度，等等。这也能说明这个理论的重要，和它广泛的应用。(valetine)
A33：
说到Entropy，刚好正在写一点东西。忍不住再说两句。尽量用大白话说。
同一个信号，可以通过各种基底B和系数c的表达。比如我们可以算H(c)，那么这个熵实
际上就表达了待表达信号与基底的相似性。或者也可以说，是用那个基底来表达这个待
表达信号的复杂程度。
如果直接对原信号x求H(x)，那实际上默认了基底是I，如果用Fourier Basis来求，那么
默认了基底是exp(i \omega t)。
但是如果用Fourier基底表达大白纸上一个小黑块儿，显然就没有用空域直接表达来得方
便。同理，如果在时域表达一个和弦信号，就不如Fourier更好地表述了其内蕴的物理模
型。
总结一下：从Entropy的角度，我们可以看出在某种表达的复杂程度，尽量选择那些有物
理背景的表达，会使得分析的难度大大简化。
具体地说，通讯里面信息很多是承载在周期变化的物理模型上的，对于波的分析，自然
Fourier会有一定优越性了。（filestorm）
Q4:谈谈卷积（valetine）
1，卷积本身是一个理论的，convolution calculus。
刚开始学信号系统的话，一般总会对这个操作感到奇怪，
比如信号 f(x), LTI系统冲击响应 g(x)
为什么一个LTI系统对信号的响应是 f(x)和g(x) 的卷积？而且什么是卷积呢？
要比较让人满意的理解这个问题，一般是需要一点数学知识的。
稍微离点题，一般的说，函数可以理解为把一些点映射到另一些点上的操作，
如果我们现在要建立一个操作，可以把一些函数映射到另一些函数上，我们说这个操作
是operator. 一个简单的对函数的操作，
可以是微分 df(x)/dx，积分 \int f(x)，等等.
那么系统就是一个operator L，输入一个信号 f(x)，输出一个信号 u(x)。表示成L(
f(x) ) = u(x)
现在想象一个LTI离散系统，我们放入一个冲击 delta(x)，系统输出信号 g(x), 如果
我们把输入信号分解成很多 c(t) delta(x-t)的和，c(t)表示信号在某个时间的大小（如
果是复数的话，还有相位），t表示延迟的多少，那么因为是线性系统，我们可以把输出
叠加，而且是非时变系统，所以每个 delta(x) 的响应仅仅是时间上的延迟。 所以输出
的结果就是
\sum c(t) g(x-t)
就是所谓的离散和的形式。同样的道理，如果系统是连续的，那么这个和的形式就变成
积分。我们称为卷积。
2,
现在我们试图来解释，
为什么傅立叶变换后，时域上的卷积，变成频域上的乘积？
当然我们可以从定义出发，做 f(x) * g(x) 的傅立叶变换，然后换变量，就可以分成
F
(jw) 和 G(jw) 的乘积。 但是这个基本上是做数学游戏，不是让人觉得满意。
现在我们换个角度来考虑。
首先要我们需要LTI系统的一个性质，频率响应。
简单的说，一个LTI系统对于正弦信号的输出，也是一个正弦信号，而且信号的周期不
变，变换的是信号的幅度和相位。这个特点本质上是因为 e^{jwx} 是微分算子的特征方
程，就是说对 e^{jwx} 求导以后，还是它本身，变化的仅仅是幅度和相位。
d e^{jwx} / dx = jw e^{jwx}
从这里自然就会展开去很多概念，比如传输方程，特征根等等。
然后我们来考虑 函数 f(x) = e^{jnx}, n 是自然数
这个函数周期为 2 pi/n. 而且有一个非常重要的性质就是，e^{jnx}，e^{jmx}
在 [0,2pi) 上的积分满足
\int e^{jnx} e^{-jmx} = 0 , 如果 n 不等于 m;
\int e^{jnx} e^{-jmx} ~= 0 ，如果 n=m。
我们称这个性质为函数垂直。我们可以把自然数扩展到所有实数，积分从[0,2pi)扩展
到
(-inf, +inf)，那么 e^{jwx} w 属于实数, 构成一个垂直的坐标系。
最后我们考虑傅立叶变换。
F(jw) = \int f(x) e^{jwx} dx
有了垂直坐标系的概念后，我们可以把傅立叶变换理解为一个函数在不同特征方程的分
量。
比如说，f(x) = cos(x), 一个周期 2pi 的信号，那么 F(jw) 就是两个在 -1 和 +1
的冲击。之所以我们把信号放在频域里，就是因为不同频率的信号，它们相对与一个内
积（这里的内积就是以上的积分）是垂直的。
有了以上的概念以后，就可以理解卷积定理了。
3,有了特征方程垂直的概念后，我们来看卷积定理。
首先我们做傅立叶变换，把信号 f(x) 分解到不同的特征方程 e^{jwx}上。
对于确定的 w，F(jw) 就是这个数，表示 f(x) 在e^{jwx}上的分量。
然后我们让 w 变化，于是 F(jw) 是一个函数，我们称它为 f(x) 的频谱。
前面提到LTI系统的频响，
输入 e^{jwx}， 输出 g(jw) e^{jwx},变化的是幅度和相位，这些信息都包含在系数 g
(jw) 中。
现在我们让 w 变化，可以测出系统的频响 G(jw)，到此为止，我们已经把 f(x) 分解
，又得到系统频响，那么运用叠加的性质，
线性系统的输出很自然就是
G(jw) F(jw)
最后鸣谢所有八系学长无私奉献自己的心得，这种心得是比什么书上的证明都更珍贵的
。
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