基本简介折叠编辑本段中文名称：三体问题 英语名称：three-body problem N体问题及三体问题的概念 N体问题：N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。 三体问题：最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响， 那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。 天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，还远不能解决三体问题。 研究起源折叠编辑本段在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。 为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程 xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是所要介绍的N体问题的特例——三体问题。 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。 研究方法折叠编辑本段数学推断折叠编辑本段初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，根据牛顿(Issac Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到： m1(d2 q1i/dt2)= k m1 m2 /(q2i - q1i)(r312) + km1 m3 /(q3i - q1i)(r313) m2(d2 q2i/dt2)= k m2 m1 /(q1i - q2i)(r321) + km2 m3 /(q3i - q2i)(r323) m3(d2 q3i/dt2)= k m3 m1 /(q1i - q3i)(r331) + km3 m2 /(q2i - q3i)(r332) ( i =1，2，3 )其中m i 是质点的质量，k 是万有引力常数，r ij 是两个质点m i 和m j 之间的距离，而 q i1 , q i2 , q i3 则是质点 m i 的空间坐标。所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件。(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量个数)。而N体问题的方程也是类似的一个 N2 个方程的二阶常微分方程组。 当 N=1 时，单体问题是个平凡的方程。 单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。当 N=2 的时候 (二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点， 那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头——N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九世纪末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了。 特殊情况折叠编辑本段四种特殊情况： 1、三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转。 2、三星成三角形，围绕三角形中心旋转。 3、两颗星围绕第三颗星旋转。 4、三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。 限制性三体问题 三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。 把小天体的质量看成无限小，就可不考虑它对两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响两个有限质量体的运动。于是，对两个有限质量体的运动状态的讨论，仍为二体问题，其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。根据圆锥曲线为圆、椭圆、抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型：圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上，则小天体将永远在运动。尔按限制性三体问题研究月球的运动，略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角，实际上这就是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。他得到的周期解，就是希尔月球运动理论的中间轨道。 在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论，脱罗央群小行星的运动就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。人造天体出现后，限制性三体问题有了新的用途，常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，见月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论)。 研究趣闻折叠编辑本段小说的基础科幻作家刘慈欣的<地球往事>三部曲之一《三体》即是以此问题为基础而创作的这是一个暂名为《地球往事》的系列的第一部，可以看做一个更长的故事的开始。是一个关于背叛的故事，也是一个生存与死亡的故事，有时候，比起生存还是死亡来，忠诚与背叛可能更是一个问题。疯狂与偏执，最终将在人类文明的内部异化出怎样的力量？冷酷的星空将如何拷问心中道德。作者试图讲述一部在光年尺度上重新演绎的中国现代史，讲述一个文明二百次毁灭与重生的传奇。 三体问题和瑞典国王的奖金(奥斯卡国王——米塔格莱夫勒——庞加莱) 1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一块金牌。 而比赛的题目有四个，其中第一个就是找到N体问题的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前把他们的参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数学家米塔格莱夫勒(GostaMittag-Leffler)。所有论文将被匿名地被一个国际委员会评判以决出优胜者，然后优胜者的论文将发表在Acta Mathematica上。这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组成：德国的维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)，法国的赫密特(Charles Hermite)和米塔格莱夫勒本人组成。 从现代的观点来看，这样的比赛也许有“抄作”和给新杂志做广告的嫌疑。(事实上当时就有一些数学家这样批评这种比赛，象德国的克隆奈克(Leopold Kronecker))。但是从历史上看，米塔格莱夫勒和奥斯卡二世的动机是好的，是为了推动科学的发展。奥斯卡二世本人在大学中数学就学得很好，他和许多当时著名的数学家，象维尔斯特拉斯，科瓦列夫斯卡雅(Sonya Kovalevskaya)等都有亲密的关系。而米塔格莱夫勒更是雄心勃勃，想把这样的比赛每四年举行一次。可惜这个设想没有实现，比赛只举办了一次就夭折了，否则的话也许今天数学的最大奖不是菲尔兹(John Charles Fields)奖而是奥斯卡奖了(那样后来美国的电影奖大概也要考虑换个名字了)。 回到比赛本身。这次比赛在当时轰动一时，虽然奖金不高，这种崇高的荣誉是当时罕见的，要知道瑞典更有名的“炸药奖”诺贝尔(Alfred Bernhard Nobel)奖是在几年后的1896年才开始评选的。但是由于问题的困难程度，大多数一开始跃跃欲试的数学家后来都知难而退，最后只有四五个数学家真正交了他们的答卷。而优胜者也并不难选出，虽然还是没有人能完整地解决任何一个问题，但是所有评委一致认为其中一份答卷对于N体问题的解决做出了关键的贡献，应该把奖颁给这位数学家。这位获胜者就是法国数学家，物理学家庞加莱(Jules Henri Poincare)。 庞加莱在现代数学历史上占有举足轻重的地位，他曾被称为现代数学的两个奠基人之一(另一个是黎曼(Bernhard Riemann))，也有人称他为历史上精通当时所有数学的最后两个人之一(另一个就是希尔伯特))。 而1885年的庞加莱只有31岁，虽然已初露锋芒，但还是一位希望能够一举成名的年轻数学家，所以这次比赛是个大好的机会，这也迫使他先放下手上其他的工作，集中精力投入到天体力学和N体问题的研究中。庞加莱获奖的论文“关于三体问题的动态方程”(Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique) 最后在1890年在Acta Mathematica上发表，论文长达270页，占了整整半卷杂志。 这篇重要论文使原来就已有不小名气的年轻庞加莱更加誉满整个欧洲数学界，也使他得到了新的热情和动力继续进行他在这篇论文中开始的工作。从1892年到1899年，庞加莱陆续出版了他的三大卷宏伟巨著“天体力学的新方法”(Les MethodsNouvelles de la Mecanique Celeste)。他的获奖论文和这三卷书可以说奠定了现代天体力学，动力系统，微分方程定性理论，甚至混沌理论的基础，尽管大多数他的思想直到几十年后才被广大的数学工作者所领悟进而发展成现代的数学理论。 |
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