引言三体问题是研究三个可视为质点的物体在仅有万有引力作用下的运动规律的问题，是天体物理中的一个重要研究课题。三体问题分为一般三体问题和限制性三体问题。限制性三体问题是在三个天体中，有一个天体的质量为无限小，以至于它的存在不影响另外两个有限质量天体在相互作用下的运动。限制性三体问题按有限质量天体的运动轨迹，可以分为圆型限制性三体问题，椭圆型限制性三体问题，抛物线型限制性三体问题。一般三体问题可以转化为对3个二阶的常微分方程或者6个一阶的常微分方程的求解。因此，一般三体问题需要得到18个积分才能得到完全解。然而目前只能得到10个积分，三体问题还不能解决。因此，研究三体问题无法使用解析法，而只能使用近似法分析。常见的近似方法有三类：分析方法、定性方法、数值方法。 早在18世纪，欧拉和拉格朗日分别得出了限制性三体问题的直线解和三角形解。三体问题在天体力学中得到了很重要的应用，在太阳系中也是很常见的，尤其限制性三体问题在航空航天中的应用[6-8]，例如，航天器在地球－月球的引力作用下的运动或者航天器在太阳－地球的引力作用下的运动，都可以看做是限制性三体问题；因此对限制性的研究是很有意义的。本文将直接讨论限制性三体问题的轨迹。 1 限制性三体问题的模型 1.1 N体问题的动力学方程 N体问题是将N（N>3）个天体简化成质点，研究这N个天体在万有引力作用下运动的天体模型。设这N个质点的质量分别为mi（i=1,2、、、，N），在某惯性坐标系下的位置为ri，且rij=ri-rj,为mi到mj的距离向量，则任一质点的运动方程为： 其中 方程（1），即为N体问题的动力学方程，若能求解得到方程（1）的解析解，N体问题即可以得到解决。然而，除了欧拉得到的十个经典积分外，N体问题并没有得到更多的经典积分。直到19世纪末，庞加莱证明了对于N(N>2)体问题，不存在统一的第一积分。 也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成简单可以解出来的问题。既然三体问题无法得到解析解，那么就可以借助计算机，得到天体的运动方程。本文章仅讨论限制性三体问题的轨迹，定性的对三体问题作一说明。 1.2 限制性三体问题的动力学方程 假设三个物体，其中有两个质量很大的物体M1、M2、，而第三个物体M3相对于另两个物体的质量可以忽略不计, 因此可以认为，第三个质量很小的物体不会对两个大质量的物体的运动产生影响。于是可以认为，第三个物体围绕两个大质量的物体的质心运动。在只考虑三个物体的万有引力作用时，两个大质量的物体的质心可以认为是不动的。 可以求得： 这与由牛顿第二定律推导的结果相符。 2 小质量物体(M3）运动轨迹的分析 运用经典力学，很难求得以上运动微分方程的解析解去讨论三体问题的运动规律变化，只能对三体问题进行定性分析。要讨论物体的运动轨迹，只能借助于计算机进行数值模拟。而在限制性三体物体中，M1/M2、的运动是两体问题，已经得到完全解决，在此不作讨论。以下我们主要根据方程（7）、（8）、（9），在选择了不同的初值条件下，使用MATLAB模拟M3的轨迹进行分析。 2.1 初速度对运动轨迹的影响 在图 1中，M3初始位置（0.02,0.01,0）、初始速度（0,0,0），M1的初始位置（3,0,0），、M1,M2的质量分别为100、1000。可以看出，M3的轨迹随着初速度不同而不同。M1的初速度不同，随着时间的推移，M1、M2在空间的位置会发生不同的变化，从而M3在不同的初始条件下受到的作用力不同；其运动规律的不同在理论是上允许的。 2.2 M1的初始位置对运动轨迹的影响 在图2中，M3初始位置（0.02,0.01,0）、初始速度（0,0,0），M1的初始速度（1,1,1,）；M1、M2的质量分别为100、1000。可以了解到，M1的初始位置影响了M2的运动。这通过运动方程的分析可以知道，在不同的初始位置下，M3在开始时受到的作用力将会不同，而这势必会影响M3以后的运动。 2.3 M1和M2的质量对运动的影响 在图3中，M3初始位置（0.02,0.01,0），初始速度（0,0,0），M1的初始位置（3,0,0,）、初始速度（1,1,1,）。由图 3，可以看出，在M1、M2质量不同的情况下，M3的运动也是大不相同的。我们知道，在开普勒问题（两体问题）中，两体的质心由质量和位置决定，而M2的运动近似为围绕M1、M2的质心运动。因此，M3的运动将受到M1、M2质量的影响。 2.4 M3的初始位置对运动的影响 在图 4中，M3初始速度（0,0,0），M1、M2的质量分别为100、1000，M1的初始位置（3,0,0,）、初始速度（1,1,1,）。由图 4，可以看出M3的运动受到了M3的初始位置的影响，这是因为，M3的初始位置的不同，将会使得M3在初始时刻受到的作用力不同，而这当然会影响到M3的运动。 2.5 M3的初速度对运动轨迹的影响 在图 5中， M3初始位置（0.02,0.01,0）, M1、M2的质量分别为100，1000，M1的初始位置（3,0,0,）、初始速度（1,1,1,）。由图可以看到，M3的初始速度对M3的运动有着很大的影响。我们知道，初始速度不同，在以后的每个时刻将会有着不同的位移，有着不同的位移，受力将会不同，这又会使得运动变得不同。并且，在图中，可以发现，当初始速度达到一定条件时，M3将会逃离M1、M2的束缚（图中，为了清晰，对坐标范围作了限制）。在两体问题中，当一小天体的速度达到足够大，即它的动能足以克服势能的束缚，它是可以逃离另一天体的束缚。那么图 5中的情况也就不难理解了。 2.6 随着时间的推移，运动规律的变化 在图 6中a、b、c、d、e，只是在图1、2、3、4、5中的a图的基础上将时间设定为1000，得到的图形。图 6中的f是在M1的初始位置为（3,0,0,）、初始速度为（1,1,1,），M3初始位置为（0.02,0.01,0）、初始速度为（0,0,0），M1、M2的质量分别为100、1000的时；M3在给定时间的轨迹图。由图 6的a、b、c、d、e中，我们看到随着时间推移，M3的轨迹有着很明显的平动现象。这可以从M1的初速度不为零得到解释，因为M1只有在X上有平动速度，可以知道M1、M2的质心在做平动，那么围绕 M1、M2的质心运动的M3必将也有一平动速度。图6中的f是在M1在X,Y上有分量速度，则M1、M2将是两体问题，它们的质心是不动的，那么M3将无法摆脱M1、M2的束缚。 3. 结论（结语） 在经典力学中，一物体的运动状态可以由物体的初始条件和以后的受力情况决定。由方程（2）、（3）、（4）、（7）、（8）、（9）我们可以得到，只要知道了M1、M2的质量比和初始条件及M3的初始条件，我们就可以预测M3的运动规律。然而，从图1至图 5，我们很直观地就可以看出，M3的运动虽然可以近似认为两体问题，但是它的运动却比两体问题复杂得多。由于初始条件的细微变化得到的运动图像相差很大的情景，可以断言，限制性三体问题对初始值却是很敏感的，并且确实具有混沌行为。从图6的最后四幅图，我们也可以看出随着时间的推移，M3的混沌行为更加显著。在图 6中，还可以观察到，随着时间的推移，M3可能会逃脱M1、M2的束缚，而运动至无限远处。虽然M1、M2、M3运动方程看似可以确定它们的运动，但是，由于运动的进行，它们之间的相对运动变现出了不可预测性，而这与庞加莱等的工作结果是相符的。 以上通过计算机模拟，得到了限制性三体问题的轨迹；并且对限制性三体问题的运动的影响因素作了讨论。在选择不同的初值条件下，可以很直观地得到了三体问题的运动轨迹对初值很敏感，确实具有很显著的混沌行为。 |
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