（一）数学发展的阶段特征
数学史家杜石然先生将明代数学按年代先后为序，大致分为三个阶段，每一阶段大约１００年。 １。第一阶段入明之后，由明朝政府主持的最重要的学术工作，当推《永乐大典》的编辑。此书完全是根据永乐皇帝的意愿编辑的。永乐六年（１４０８年）书成，共２２９３７卷，１１０９５册。全书均系手抄本，无刊本。后世流传者即仅有嘉靖年间另抄的一个副本。 《永乐大典》自明万历年间即开始残缺，但清修《四库全书》时，戴震等人仍从中辑出古算经若干种，可见《永乐大典》于清初时大部尚在，可惜１９００年庚子之役，大部散佚。６０年代初，中华书局从世界各地搜集到残本约８００卷，影印刊行。 《永乐大典》中有关的数学条目，大都集中于 事韵 、算字之下，原有３６卷，现被影印者为仅存的１６３４３- １６３４４卷（现藏英国剑桥大学图书馆）。据各方资料分析，算字条下各册，内容系采自以下各书：属于汉唐十部算书者有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》七种；属于宋元算书者有《数书九章》、《益古演段》、《详解〈九章〉算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》、《透帘细草》、《丁巨算法》、《革象新书》、《锦囊启蒙》、《算法全能集》、《详明算法》等；属于明初算书者仅有一种即《通原算法》，但其内容十分浅显。 《永乐大典》所收算书情况表明：在明朝初年，古代的《算经十书》和宋元时代的各种算书，还不能说已经失传。但是《大典》只有抄本而无刻本，其编纂本意是供皇帝御览而不是用于流传。因此《大典》虽然收入了许多算书，但并不能说明这些算书在明初都是一般人可以读得到的。当时，要想读到这么些算书似乎非常困难。 以《九章算术》为例，大约到了明王朝建立后的百年左右，就已经很难见得到了。吴敬寻访多年之后才获得一部《九章算术》的手抄本。至于宋元算书，除杨辉所著各种实用算术书籍仍然流行于世外，其余的宋元诸大家，如秦九韶、李冶、朱世杰等人的著作，则很少见有问津者。程大位在其所著《算法统宗》一书附录有算学源流，给出了历代算书名单，其中关于宋元算书，秦九韶和朱世杰的著作均未列入。 以上情况说明自明初到１５世纪中叶期间，中国古代汉唐《十书》和宋元算书大都处于衰废状态。 ２。第二阶段到了１５世纪中叶，恰好是在１４５０年（景泰元年），吴敬出版了他自己编著的《九章算法比类大全》，它是仅存的最早的刻本算书。全书卷首是乘除开方起例，之后按《九章算术》的体例并以《九章》的章名命名各章，全书所收问题分 古问 （即采用《九章》等书原有的问题）、 比类 、 诗词 （诗词体例的数学问题）等等。值得指出的是：从体例和全书的整体思想上讲，《大全》仍然继承了以《九章》为代表的中国古代数学的传统，即以政府管理上所需要的实用数学为主要内容。关于宋元时代的成就，如天元术、四元术、内插法、级数求和等内容，《大全》均未涉及。而关于开方、开立方、开高次方，吴敬所用的只是利用开方作法本源的 立成释锁法 而不用比较先进的 增乘开方法.书中有很多民间商业数学方面的内容，杨辉算书和朱世杰《算学启蒙》等算书所开创的方向，在吴敬书中得到了继承和发展。这对程大位所著《算法统宗》以及明中叶以后的数学著作，产生了重大的影响。 除上述吴敬所著《九章算法比类大全》之外，还出现下述一些算书。 现仅有抄本传世的《通证古今算学宝鉴》（王文素，自序于１５２４年）。 有刻本传世的《勾股算术》（１５３３年）、《测圆海镜分类释术》（１５５０年）、《弧矢算术》（１５５２年）、《测圆算术》（１５５３年），以上均为顾应祥所著。 《勾股六论》，是与顾应祥同时代的唐顺之所著。有抄本传世的《神道大编历宗算会》（周述学，１５５８年）。 上述所列顾应祥所著各书涉及宋元算书内容较多。据顾应祥《勾股算术》序中的自述：他 自幼性好数学，然无师传，……又得《周髀》及《四元玉鉴》，在《测圆海镜分类释术》序中说晚得荆川唐太守（即唐顺之）所录《测圆海镜》一书等等，可知像顾、唐这样的高级官吏曾经搜求并研究过宋元算书。可惜的是顾、唐等人对宋元数学中的成就，如天元术几乎完全不理解。由于他自己没有学通，就把天元术有关的内容删去了。宋元数学成就至此已不绝者仅如一线，几乎就成为绝学了。 ３。第三阶段在此后直至明亡的不到一百年的时间里（即从１６世纪中叶至１６４４年），在数学史上发生了必须提到的两件事。其一是珠算盘广泛被利用，另一就是西方数学开始传入我国。 珠算盘产生于元末，在朱世杰《算学启蒙》（１３０３年）中可以看到当时已经完成了乘除法的口诀化。入明以后，在吴敬《九章算法比类大全》和王文素《通证古今算学宝鉴》二书中，虽然没有出现关于珠算盘的明确记载，但都记述了一些似乎只能是在珠算运算中才可能出现的算法。在流传至今的算书中，最早记述了珠算并附有算盘插图的刊本算书是《盘珠算法》（徐心鲁，１５７３年）。此外还有《数学通轨》（柯尚迁，１５７８年）、《算学新说》（朱载堉，１５８４年）、《盘法指南》（黄龙吟，１６０４年）等书。 在许多关于珠算术的算书中，程大位所著的《算法统宗》（１５９２年）是最重要的。许多珠算书籍的出现，特别是《算法统宗》受到的欢迎，标志着到明末珠算已广泛流行，中国古代的筹算终于被珠算所代替。珠算盘这种便于使用、便于携带，其算法程序化和口诀化了的简便计算工具，直至今日，依然被我国人民广泛应用着。由于珠算术的发展，筹算和建立在筹算基础上的天元术、四元术、高次方程和方程组的数值解法等宋元数学的诸多成就便进一步被人们遗忘和衰废了。在程大位的《算法统宗》中虽然也引用了开方作法本源，但程大位却注明 此图虽吴氏《九章》内有，自平方至五乘方，却不云如何作用，注释不明，可见程大位对吴敬书中载录的立成释锁法 也已经不通用了。 与珠算术流行的同时，在明末，伴随着西方传教士来华的早期活动，西方的数学知识也开始传入我国。最早传入的数学知识，大都集中在徐光启等人所编的《崇祯历书》和李之藻所编的《天学初函》之中。详细情况见本书有关中外交流章节。 （二）《一鸿算法》 １。作者及成书年代 《一鸿算法》四卷，余楷撰，１５８５年刊印完成。长期以来，人们都以为该书早已失传。最近，李迪先生发现明代原刊本并进行了研究。该书是一部珠算书，有大量诗歌和口诀，还有形式不同于程大位《算法统宗》所载的丈量步车和 制车 等新内容。 ２。主要内容及其贡献全书主要由歌诀与算题构成，歌诀有 歌 、 诀和法三种形式，共３６首，多数都无韵。卷一有算题４９道，卷二有２３道，卷三有３６道，共１０８道，卷四因体例不同无算题。所有算题除两道外均以今有开头，每题都有答 和 法.一般是先歌后题，有些地方有解释和说明，这是明代数学著作一种较普遍的风格。 全书内容浅显，系一种普及性读物。该书的发现给明代数学史研究提供了新的资料。 《一鸿算法》卷二 度之章 主要讲述余楷本人参加田亩丈量和各种形状田亩面积计算问题。开头是一首丈量田地歌，接下去有一长段小注性文字，就是记述他受命进行丈量一事。 特别重要的是，余楷在书中记录了两种当时使用的丈量工具——制绳和制车。制绳也称丈绳，每一丈做一记号。 制车与《算法统宗》所记之丈量步车制法虽不同，但原理完全一样，都是卷尺。丈量步车用篾做绳，而制车则用麻绳。制绳可以独立使用，而主要是用在制车上。其制车方法是：用围长１尺、干长４尺的竹子，上半段留下１。５尺左右，中间从两面锯下，使成通槽形，即所谓灯笼架样.再从未锯下的两侧面中间穿上一根带摇柄的铁轴。把长１。５尺的６片竹篾穿于通槽内铁轴上，为纺车形.皮绳绕于其上，起收放皮绳的作用。在将竹子锯成通槽形时于前面留一齿，高、宽各１。５寸，中凿一方孔，安装一管状滑溜，使皮绳从中顺利通过。 在滑溜的下方，把竹筒削成像手掌宽那样的柄，以便插于地上。 显然，余楷的制车较原始，不如《算法统宗》内之丈量步车成熟。在前后相差六七年的两部书里记有不全相同的丈量工具这一事实，清楚地说明：万历初年为适应全国田亩丈量的需要，数学家们都在研究既省工又能提高工作效率的丈量工具。 （三）《算法统宗》 １。概述《新编直指算法统宗》十七卷及首篇一卷（１５９２年），程大位著。它流传广泛，对明末以至清代民间数学知识的普及与中国古算知识的继承均有不容忽视的作用。 该书系参会诸家之法，附以一得之愚，纂集成编.以整体而言，卷三至卷十二即方田至勾股诸卷为主体，以示统宗于《九章算术》，冠以算学常识与珠算知识，附以难题杂法等项。尽管某些内容不无重复，仍不失条理清楚。 ２。学术价值据李兆华先生研究，该书中的新意，有下列各点：丈量步车 卷三载有新制丈量步车图，图后有说，图文结合说明其构造及尺寸。所谓丈量步车类似今之皮卷尺，是一种量田工具。其主要零件包括一个木框架、一个木转轮、一条竹篾以及提把儿、摇把儿、钻脚。竹篾易于舒卷，摇把儿与木转轮为固定联接，转动摇把儿即可将竹篾缠绕于木转轮外周。木框架与木转轮由摇把儿联接，兼有束服竹篾的作用。竹篾上依步分厘制刻划长度单位：篾上逐寸写字。每寸为二厘，二寸为四，三寸为六，四寸为八，不必厘字。五寸为一分，自一分至九分俱用分字。五尺为一步，依次而增至三十步以上或四十步以下可止。因五尺为一步，故五寸为一分，半寸为一厘或即一寸为二厘。如以此步车量得方田边长为若干步分厘，自乘，以亩法二百四十步除之，则迳得方田积为若干亩分厘。古代量田常用弓，每弓五尺。其形制见诸《算法全能集》卷上。步车较之弓，方便而准确，这是进了一步。 截两成斤歌 卷四衡法节的截两成斤歌给出斤下带两诸数相加的简便方法。歌由 一退十五，二退十四 至 十五退一共十五句口诀组成。程氏说：观算盘梁子上二子为十，梁之下五子，共有十五两。论一斤该数十六两，欠一两。故曰一退十五以成一斤。据该书说，当时斤下带两之诸数相加，法各不一，或者用斤两口诀将诸零两数化为十进小数相加，或者于斤数下隔位置零两数相加而后除以十六。此二法皆不如程氏此法迳得相加结果若干斤若干两。从进位制角度言之，程法同时进行两种进位制加法：斤以上逢十进一，零两数逢十六进一。 珠算归除开立方法 此法见于卷六。珠算归除开方（包括平方、立方）是相对于较早出现的珠算商除开方而言，皆属于《九章算术》开方系统而非增乘开方系统。至于《算学新说》（１５８４年）所载开立方法乃是一种简化的珠算商除开立方法而不是珠算归除开立方法。此外，《算法统宗》卷六还介绍了珠算归除开平方法并在卷一开平方法一节说明 今新增归除开方而法之便矣。 然而，珠算归除开平方法已见于《算学新说》，故事实上已不属新增。 珠算开带从诸乘方 卷六 带从开平方法 一节所述带从开平方，减积开平方， 长阔相和歌 一节减从开平方，开带从立方节带从开立方，开三乘方；卷七环田截积歌一节所述带从开三乘方，皆属珠算开诸乘方及带从诸乘方最早的记载，为研究筹算开方法到珠算开方法的演变提供了原始资料。 （四）《算法纂要》 １。撰者目的程大位在出版了《算法统宗》后六年，又编辑《算法纂要》（１５９８年） 一书刊行。程大位编辑此书的目的有下面三个方面：为了便于初学者：程大位刊行《算法统宗》后，感到其内容庞杂，卷帙浩繁，初学者尚不便使用，故将《统宗》删其繁芜，揭其要领，编成此书。 《纂要》全书共６４个条目，其中取自《统宗》的有５６条。 为使珠算广为应用：《算法统宗》包括了当时的各种数学知识，珠算只是做为计算工具来介绍的。全书共十七卷，介绍珠算的只有两卷，仅占一小部分。但是，当时广大群众，特别是商业人员，并不一定要求掌握高深的数学知识，比如方程、勾股之类，而最需要的是将珠算学到手，以便日常应用。 所以编辑一部以珠算为主，附以应用数学知识，简明扼要的算法书是非常需要的。程大位编辑《纂要》的目的就是满足这方面的需要。《纂要》共四卷，论珠算的就有两卷多。特别是从第四卷的内容分析，可以看出程大位有意突出了珠算。 为了抵制坊间刻本错误的不良影响：程大位在《算法纂要？识语》中说：万历壬辰，余编算法统宗四本，……明年癸巳，书坊射利，将版翻刻。图象字义均讹，致误后学.程大位看到这种致误后学的情况，甚为愤慨，一方面声明买者须从本铺原版，方不差谬，以免上当外，另一方面便采取积极措施，就是编辑是书出版，以抵制坊间刻本的不良影响。 ２。基本特点和作用李培业先生认为：《纂要》除采自《统宗》者外，也增加了少量内容。 一种是新增条目，如 数名释义 ；一种是增加一些例题，如 异乘同除条增加两题，乘法题内增加了 五个山头五只虎 的趣味题，物不知总中增加两题， 一掌金 中增加一题。 从全书选材看，《统宗》共有条目２９０个（包括１０８个难题），《纂要》取录５９条，只占全书的百分之二十多。其中总论部分（基本算法）原书５７条，选取３８条；方田章原书１２条，选取１０条，这两部分所选最多。其余粟米章选３条，衰分章选２条，商功章选３条，少广章选１条，都是极少数。 盈朒、方程、勾股各章，未选一题。从这里可以看出《纂要》是偏重于基本算法介绍及为解决日常计算问题而编写的。 程大位在编《算法纂要》时，并非只做《统宗》的摘编工作，而是以《详明算法》为蓝本进行选材，是继承了《详明算法》这一类型算书的优良风格的。宋杨辉《日用算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》的题目称日用型，《算法纂要》即属于 日用型. 日用型算书除基本算法外，大多包括以下项目：异乘同除、就物抽分、差分、贵贱差分、斤秤问题、堆垛、盘量仓库、丈量田亩和土方计算。 日用型 算书在民间普及珠算及初等数学知识方面，起到了重要的作用。由于它的内容少、适用性强，以讲述珠算为主，因而易于为广大群众接受，便于在民间广为流传。所以，这种类型的算书，实际上成为明、清时代民众的数学启蒙读物。《算法纂要》虽因某种原因流传不广，但它的编辑目的及内容，仍然被继承了下来，其他多种同类著作的出版，发展了这一编排体系。 （五）珠算的发展与普及 １。珠算的起源和发展元代民间已流行珠算，但士大夫们还沿用传统的筹算。元代的算书，都用筹算，即其证明。到了明代，珠算和筹算的地位逐渐发生了变化，应用珠算的人越来越多，筹算所占领域逐渐缩小，最后终于让位于珠算。这一过程是逐步演变的。如明代初期刊印的《魁本对相四言杂字》儿童读物，既绘算盘，又绘算筹。明代中期的算书，如吴敬的《九章详注比类算法大全》和王文素的《通证古今算学宝鉴》中加减乘除用珠算，开平方、立方用筹算。明代晚期的读物如《金瓶梅》和《警世通言》等等，则只提珠算，不言筹算了。 明代后期的书如《盘珠算法》、《数学通轨》、《算法统宗》、《算法纂要》、《算学新说》等等，已完全采用珠算。这时期的珠算，显然已取代筹算了。 《魁本对相四言杂字》和《新编对相四言》是看图识字的儿童读物，四字一句，图文对照。书中刊有算盘图，此书是至今发现绘有算盘图的最早的图书。书中把算盘同骰子并列，这说明算盘在明初是民间通行的算具，而不是陌生的新事物。书中既绘有算盘，又绘有算筹，这说明算筹在明初社会上还存在，算盘和算筹两者还同时并存。 《金瓶梅》卷首有明嘉靖三十七年（１５５８年）观海道人序，据此推定是嘉靖年间编成。这部小说的第八十二回 汤来保欺主肆风狂 中有匹手夺过算盘一语。《警世通言》卷二十二中有： 宋金写算精通，……唤他去掌算盘数语。《黄山迷夹竹桃》一书中有：这一遍算盘，真为小阿姐打不转来数语。明刊本《金瓶梅》的 西门庆官作生涯 一回所插绸缎店图，柜上有算盘一具；明刊本《占花魁》的秃涎一回所插小酒店图，柜上也有算盘一具。这说明明代各种店铺广泛使用算盘。 传本《鲁班木经》卷二著录算盘的规格是： 一尺二寸长，四寸二分大。 框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。 长短大小，看子而做。 传本《鲁班木经》大约永乐十九年（１４２１年）以后刊行。 《鲁班木经》所述算盘规格： 线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分 ，恰等于四寸二分大，显然没有横梁，如果有梁，则宽度不止四寸二分。又因为有线上、线下的说法，因此算史研究者对《鲁班木经》的算盘是否有横梁，有种种推测。 ２。重要珠算著作及作者历代珠算家的身世和事略，史书《艺文志》和《畴人传》中大都记载不详或者残缺。现依据有关资料，将明代珠算家的身世和事略及其著作，简要介绍如下。 吴敬，《九章详注比类算法大全》首卷目录和乘除开方起例，一卷方田，二卷粟米，三卷衰分，四卷少广，五卷商功，六卷均输，七卷盈朒，八卷方程，九卷勾股，十卷开方。一卷至十卷，每卷首述古问，次 比类 （类推应用题），再次 诗词.《九章详注比类算法大全》首次著录珠算加减的上法、退法口诀，称为 起五诀 、 成十诀 、破五诀、破十诀.王文素，字尚彬，明成化年间山西汾州人，生卒年月不详。成化年间自山西文林跟随父亲经商于真定的饶阳，就在那里定居。王文素喜欢研究算学。 收集了宋代杨辉、明代杜文高、夏源泽、金来朋等诸家的算书，加以研究。 他花了３０年时间，于明嘉靖三年（１５２４年）编成《通证古今算学宝鉴》四十一卷，时年已６０。由于无力刻印，因此四百多年来各收藏家和公私书目，都没有著录。１９３５年左右北平图书馆于旧书店发现此书手抄本，才以善本珍藏，至今为海内孤本。《通证古今算学宝鉴》四十一卷（自序作四十二卷），原分１２本（今订成六册），内容以传统的九章为范围，但推演广泛，项目较多。 此书卷一也同吴敬《九章详注比类算法大全》一样，著录珠算加减法的 起五诀 、 成十诀 、 破五诀 、破十诀，虽然没有明言珠算，但乘除用 盘中定位数 （卷一）， 众九相乘 条（卷五）明白指出计算工具是算盘。 徐心鲁，籍贯和生卒年月不详。据《盘珠算法》书前题 徐氏心鲁订正 ，知徐心鲁在闽建书林订正《盘珠算法》。此书没有序、跋，成书的经过不详。《盘珠算法》在中国已失传，日本内阁文库藏有一部。此书是刊有算盘图、并以盘式对照口诀说明算法的最早的珠算书。算盘梁上一珠，梁下五珠。 柯尚迁，福建长乐下屿人，生卒年月不详。明嘉靖二十八年（１５４９年） 贡生，任京师（今河北省）的邢台县丞，曾撰著《数学通轨》。《数学通轨》的成书早于程大位著的《算法统宗》。此书卷首的初定算盘图式是十三档梁上二珠、梁下五珠的算盘。按照柯尚迁此书的序文，知此书由三部分组成，其一是学算须知，包括：数原、上法、退法、九九歌诀，九归总歌。 其二是 归除诠要 ，包括：因、乘、归除、金蝉除、九归、定身除、归除法、乘法等。其三是九章释例，将方田、粟米、差分、少广、商功、均输、盈朒、方程、勾股各举例说明解法。其中 学算须知 中有习数法语十条，与《通证古今算学宝鉴》中的 学算总诀 完全相同。《数学通轨》中的 九归歌诀 、撞归诀同吴敬、王文素算书的两种归法歌诀相同，只是吴、王二氏算书中对归除的有归无除，仅提处理方法，还没有起一还原口诀。《数学通轨》已提出起一还原口诀，称为 还原法语 ，同程大位《算法统宗》所载一致。 徐心鲁订正的《盘珠算法》在万历元年刊印，柯尚迁《数学通轨》成书仅后五年。两人一是福建人，一在福建作书，所采用 上法退法口诀、留头乘口诀 、 九归诀 、 归除法诀 ，都是一致的，大约是万历年间福建流行的口诀。《数学通轨》的水平高于《盘珠算法》。 由于《数学通轨》一书明清两代没有在社会上流传，因而在珠算界没有发挥应有的作用。但在日本的情况就不同。此书在日本流传很广，如高桥织之助的《算话拾■集》就引用《数学通轨》的序文。 程大位，在万历二十六年又编印《算法纂要》一书。 朱载堉，于万历十二年撰成《算学新说》，万历三十一年才刻完。此书介绍归除开平方、开立方方法，用八十一档大算盘，以求十二律。主要是为律吕服务的算书；所求平方根、立方根多至二十四、五位。 黄龙吟，名嘘云（字龙吟），四川新都县人。著《新镌易明捷径算法指南》，此书明万历三十二年刊行。《新镌易明捷径算法指南》是珠算书，书中所刊算盘图是梁上一珠，梁下五珠，与《盘珠算法》的算盘图相同。但此书说明，算盘每行七珠，上梁二珠，下梁五珠，可见梁上少刻一珠。所录九归总念、 乘法歌诀 （留头乘）、 归除歌（包括撞归起）同现在通行的歌诀一致，只是隔位乘法（指相乘二数的次位为零的乘算，如５０８×２０３，３０６×u65297X０５等题）与传统的隔位乘性质不同。此书把除数次位为零的除法（如６。４２６÷u65297X０２和３４。１７÷u65303X０５），称为隔位归除法，通行的珠算书中没有这个名称。书中著录的 金蝉退壳法 ，只用一进一除，每次得商为１，与徐心鲁订正的《盘珠算法》的 二字算类似，是金蝉退壳法 中的原始方法。 |
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