误差传播定律计算及注意事项

在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：
说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 。
间接观测量:
在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,
则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：
由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律? 
设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即
　　　　
式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
　　　　
　式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。

求任意函数中误差的方法和步骤如下：
列出独立观测量的函数式：
　　　　　　
求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得
　　　　　　
求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
　　　　　　
表5-2 常用函数的中误差公式
　　　　　　

二、应用举例
【例5-2】 在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。
　　　　
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。

【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得
　　　
两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。

【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD
解: 1）首先列出函数式
　　
2）水平距离
　　
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分， 
3）先求出各偏导值如下
　　
4）写成中误差形式：
　　
5）得结果 ： D=243.30 m±0.06 m。

【例5-5】
图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m读=±2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解:1)每站观测高差为：h=a-b
2)每站观测高差的中误差：
　　
因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：
　　
L(km)高差和的中误差为：
　　
往返高差的较差（即高差闭合差）为：
　　
高差闭合差的中误差为：
　　
以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
　　
在第二章中，取 (5-3-41.4)作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。

三、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点：
1．要正确列出函数式
例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml =±5 mm，求全长D及其中误差mD。
1）函数式 D=10l=10×30=300 m
按倍数函数式求全长中误差，将得出
　　
2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为
　　
用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为
　　
按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。 
2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。
如有函数式：z=y1+2y2=1 (a)
而：y1=3x;y2=2x+2 (b)
若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。
1）直接用公式计算,由（a）式得：
　　
由（b）式得：
　　
代入（c）式得
　　
（上面所得的结果是 错误）

上面的结果为什么是错误的 ？
因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。
正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。