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2015年8月23日晚，数学家张益唐在清华大学做了《我对数学的理解》的主题演讲，本场演讲由百人传媒主办，现场听众云集，大家纷纷来一睹这位当代著名华人数学家的风采。蝌蚪君也在现场聆听了张教授的精彩演讲。 本次讲座中最重要的人物是“张益唐”。 最重要的数学概念是“解析数论”。 很多人可能对“张益唐”与“解析数论”都还不太了解，蝌蚪君为你略说一二。
张益唐的师承 张益唐究竟是何许人？这个问题如果放在3年前来问，估计知道这个名字的人极少，因为他一共只发表过3篇学术论文。张益唐的学术经历非常坎坷，在成名之前，他只是美国一个普通大学的数学讲师，可以说是默默无闻。 但张益唐本来就不是等闲之辈。他1978年考入北京大学数学系，师从潘承彪教授攻读硕士学位。潘承彪教授是著名数论（关于整数的学问，很多问题与素数有关）专家潘承洞的弟弟，他们两兄弟写过一本专著叫做《哥德巴赫猜想》（中、英文版）。自从新中国成立以后，华罗庚放弃在美国的优异待遇，发表热情洋溢的爱国宣言：“良园虽好,却非久居之地”，毅然回国把中国的解析数论提高到一个国际性的高度以来，以潘家两兄弟，王元，陈景润等为代表的中国数学家就在这一艰深的领域进行了富有成果的研究。 因此可以说，张益唐的学术背景本来就是“出身名门”。
什么是解析数论 解析数论是在初等数论无法解决很多具体问题的情况下发展起来的，是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。什么是分析方法呢？加减乘除这种不是分析方法，分析方法就是以概率，极限以及微积分等高等数学为工具的方法。 比如，欧几里德证明素数的个数是无限的，那么素数在正整数中的出现的概率是多少呢？用解析数论的办法可以证明：如果有1到n一共n个连续的正整数，那么素数在这n个数中出现的概率近似是1/log（n）。 这种概率的看法并不是精确的，但却是解析数论研究的基本观念。 在解析数论中，另外要做的事情就是用分析的办法估计一些求和的大小。 比如，所有素数的倒数之和是发散的，也就是说，这个和是无穷大，但具体是怎么发散到无穷大的，则需要深入的分析。对于所有素数的倒数和，可以证明它的发散方式是以“对数的对数”方式趋向于无穷。
解析数论的特点 如果我们有了一个可以表达出所有素数的通项公式，那么一些解析数论范围的问题，就自动转到初等数论的范围内。可惜的是，我们并没有素数的通项公式——也就是说我们并不完全掌握素数的在整数里的分布规律到底是什么，给你一个很大的素数，你无法预测下一个素数是多少——正因为这个基本的困难，现在数学家只能有一些“估计”的办法来处理数论问题。 因此，“估计”也就成了解析数论的特点。
解析数论怎么做？主要是估计主项与余项 在张益唐之前，有一篇8年前发表的论文，是最接近要证明的孪生素数猜想的。这篇论文就是美国人Glodston 、匈牙利人Pintz以及土耳其人Yidirim三位数学家完成的，按照作者个人名字的首字母，简称为GPY论文。该论文虽然看上去非常接近“孪生素数猜想”，但仍然不能证明存在一对素数，其间隔总小于某一特定的有限值。 后来，美国数学研究所的召集了世界上所有的相关的数学家对这一问题进行评估，最后的评估结论就是：这个问题没有办法解决。 张益唐后来说：“GPY论文非常复杂，技术性很强，但对我来讲看懂这个论文不太困难，因为我在这方面的训练还是够的。解析数论，归结到最后，往往是你去算一个很复杂的求和，而算这个东西呢，你不可能精确得算出来它等于多少。算出来的结果往往有两部分，一部分是主项，另外一部分是余项（或者叫误差项），往往计算的结果是涉及到这两个方面。” 在解析数论中，因为素数分布的极不规则，往往要做两部分证明，首先要证明主项是正的，然后要证明误差项取了绝对值以后不能超过主项。 张益唐打了一个比方，他说2015年是爱因斯坦广义相对论100周年，第一次世界大战以后爱丁顿等物理学家去非洲与巴西通过日全食来检测光线在引力场中的偏折。他看霍金的《时间简史》里介绍，这个测光线偏折的物理实验中误差比较大。这用数论的语言来说就是余项差不多跟主项一样大了。物理试验有这样大的误差， 但在数论研究中，就要比这种物理试验更严格。
张益唐做了什么研究工作 张益唐1992年毕业于美国普渡大学，获得博士学位，但他并没有进入一个好的大学取得教职，而是在江湖上流浪了8年，后来在朋友的介绍下，他才在美国一个普通大学取得了数学讲师的资格。张益唐研究的其中一个学术问题通常被称为“素数间隔”（bound gaps）。在素数中，指差为2的素数对（p和p+2同为素数）又称为孪生素数，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。随着数字变大，人们可以观察到的孪生素数越来越少。 再过了10多年，一直到2013年5月，在数学江湖上名不见经传的张益唐突然在权威学术刊物《数学年刊》发表了一篇题为 “Bounded Gaps Between Prime Numbers”（《素数间的有限间隔》）的文章。 在这篇文章中，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式：在不依赖未经证明推论（比如黎曼猜想）的前提下，发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题的道路上迈出了革命性的一大步。他的论文一经发表，立马引起数学界与新闻界的巨大轰动。加州大学伯克利分校数学教授爱德华·弗伦克尔称他的证明蕴含着“文艺复兴的美感”。 从此，张益唐突然跻身世界一流数学家的行列，而且在最近的世界数学家大会上做1小时的邀请报告。
陈景润之后的又一个华人解析数论学家 中国曾经是一个解析数论的大国。 30多年前的1978年，这是科学的春天。 1978年3月，中共中央、国务院在北京隆重召开了为期13天的全国科学大会。全国科学大会在人民大会堂举行闭幕式和授奖仪式。大会闭幕前，宣读了中国科学院院长郭沫若的书面讲话《科学的春天》。在这一特定的历史时期，徐迟的报告文学作品《哥德巴赫猜想》把数学家陈景润塑造成为一个家喻户晓的数学家。 那么，如果要问，三十多年以后，谁是华人数学家中又一个取得“陈景润”般数学成就的解析数论学家，答案可能是唯一的，那就是“张益唐”。 来源：蝌蚪五线谱 |
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