杨正家老师《数学思想方法基础探究》讲座（2）

数学的概念、定义、定理等等都包含着数学的思想方法，数学学习在很大程度上就是思想方法的学习,是思考的学习。

我们的课程，就是对数学思想方法中一些问题展开分析思考，纠正一些思维的偏差，加强一些思维的深度，拓宽一些思维的联系，通过这门课程的学习，希望能够有助数学教师于更加透彻理解教材和课程标准，更加透彻理解数学本身的规律，进一步有助于数学教学的改进。

我们的课程形式是以问题的形式来显示，没有系统性。但是我非常希望有启发性，通过我们课程里面的一些问题的思考、改进，启发大家进一步思考，发现问题，深入研究，提高认识。改进教学——杨正家老师寄语

问题三、扇形是不是圆的一部分

圆的概念：到定点的距离是定长的点的集合。

因此，圆只是一个圆周，圆是不包括圆周所包含的内部部分的。因此求圆的面积也是一个马马虎虎的糊涂概念。

扇形的概念：圆的一部分，“由两条半径以及两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的区域”。

因此，扇形又变成了由弧和半径所组成的图形。可是半径的两条线段原本不是圆的组成部分。

圆是空心的，扇形是实心的。

所以，说扇形是圆的一部分是牵强的。

在初中平面几何中，关于图形的描述所产生的类似问题还有不少。比如，三角形是三条线段首尾相接的图形，从概念上来看也是不包括内部部

分的，因此求三角形面积也应该更准确地讲是求三角形所围成的部分的面积，可能更合适。

还有四边形、多边形也同样。

问题不仅在初中平面几何，其实在高中解析几何也同样。求椭圆的面积也遭遇同样的问题。

更进一步，我们可以一眼看出封闭图形的内部和外部，可是对于双曲线、抛物线等等，我们甚至无法说出曲线的外部和曲线的内部。

直观做不到，那么么我们就要借助量的分析。比如(x/a)^2-(y/b)^2<1称为内部。

对于直线呢？比如ax+by+c<0（a>0）是指哪个区域？研究后发现，所谓小于零就是左边，大于零就是右边。

如果有兴趣，还可以进一步研究立体图形：球；椭球；平面；曲面；柱锥台体，等等。

可以统一研究实心还是空心，研究内部还是外部这两大类问题。

问题四、圆的面积公式的推导方法合适吗？

教材是这样推导圆的面积公式的。

这样的推导方法相信，圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近一个长方形。 这个结论是很粗糙、武断的。 为什么随着分割的份数越来越多，拼成的图形会逼近长方形，逼近圆面积？ 一般地，图形的“细分”不一定都能够“逼近”的。

比如，蚂蚁爬楼梯问题。蚂蚁爬行的路程是水平距离加高度，即使楼梯的踏步再细分，台阶再小，也不可能“逼近”斜边的。所以，细分不一定逼近，观察的直觉不一定可靠。

圆面积的推导居然借助观察直观，这种方法实在不可取。但是又苦于没有合适的方法用来教学。没有合适的方法也不能用误导的方法来抵充。

既然，我们都很敬佩祖冲之的方法，那我们可以试试求半径为1 的圆内接正3n边形的面积S3n。

为什么一定要从内接三边形开始边数倍增来逼近呢？为什么一定要边数倍增来逼近呢？

如果试试求半径为1的圆内接正4n边形的面积S4n会如何呢？

看起来，可以得到两点体会：第一，从几边形开始逼近不太重要，反正不太考虑逼近的速率；第二，边数是否成倍递增也不太重要，只要边数递增即可

如果不采用单侧逼近的方法，也同样可以用夹逼的方法。单侧逼近可以通过极限求出准确值，夹逼的方法可以了解计算过程中近似值的有效数字个数