最近在看庞加莱(Poincaré)(又被翻译成彭加勒)的《科学与假设》,这是一本闪耀着思想光辉的圣书。介绍科学知识的书很多很多,但是像《科学与假设》这种写科学哲学的书恐怕很难找得到。虽然这本书的语言非常艰涩难懂,但这本书我至少读过3遍,每一遍都能读出一些新的感悟。 在这本书里,庞加莱对几何学提出了几条思想很深刻的见解: 1.几何学公理既非综合判断,也非实验经验,他们是约定。约定是心智的产物,约定的选择是自由的,但又不是随意的。 2.假使自然界没有固体,便不会有几何学。欧几里德几何学的性质与天然固体非常符合。 3.欧几里德几何学不比非欧几何学更真,他只是更为方便而已。经验在任何时候都不会与欧几里德共设相矛盾,同样任何经验永远也不会和罗巴切夫斯基共设相矛盾。 4.可以建立一本词典,把非欧几何的术语和欧几里德几何的术语之间建立一一对应的关系,这样非欧几何将永远不会和欧几里德几何相矛盾。 5.实验告诉我们的是物体之间的相互关系;至于物体与空间的关系,或者空间个部分的互相关系,没有一个实验影响或者能够影响。实验与空间无关,而与物体有关。 为了对非欧几何加以诠释,庞加莱在这本书里提到了著名的庞加莱圆盘模型,这个模型是非常有意思的:
从我们通常的几何学观点来看,这个世界是有限的,但对于这个世界的居民来说,它却是无限的。因为当居民试图接近有限球面时,他们逐渐变冷因而变得越来越小,他们迈出的步子越来越小从而永远达不到有限球面。 由假定(1)可以推算出来在这个世界中最短路径不是直线,而是圆弧,这圆弧将垂直于边界。假定(4)则保证了光的物理性质:光总走光程最短的路线,从而保证这个世界的居民对光的研究和对固体的研究是一致的。 说这个世界是非欧几何,最主要的证据是它违反了欧几里德的第五共设。注意,在庞加莱模型中过“直线”外一点可以做出无数条与该直线平行的“直线”。为了搞清楚这句话的确切意思,我们需要明确一下“直线”的定义,“直线”指的是过两点的最短路径,所以在此模型中“直线”就是连接两点并且垂直于边界的圆弧。 还应该注意,在这个模型中三角形的内角和小于180度。 最后,再放一张我在这篇文章中提到过的艺术家埃舍尔的画作《天使与魔鬼》,这幅画中的天使和魔鬼就处在庞加莱圆盘模型当中。 好了,就写这么多吧,好久没有这么认真的写一篇文章了。 Read more from Interesting Maths |
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