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数学是研究数量、结构、变化、空间等领域的一门学科。数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。 数学在历史长河发展中并不是一帆风顺，如经历数学史上三次数学危机，总的来说，和平年代数学发展相比战乱年代要快。文明程度越高，数学发展速度和重要性日益体现出来。 在平面几何作图发展过程曾出现了三大几何难题，它们分别是： 一、三等分任意角； 二、化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积； 三、立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍。 这三个几何问题为何会成为三大几何难题？其中有一个限制条件是只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。这种作图方式我们称之为尺规作图。下面我一起来简单分析这三个问题为什么不能用尺规作图来解决。 一、三等分任意角问题： 尺规作图对于所有角进行二等分并不难，可以说轻而易举。如二等分360度、180度等，依照二等分这个原理我们就可以画出正2n边行（圆内接正多边形原理）。同理所有角都可以三等分吗？例如90度角进行三等分，若能用尺规作图三等分则可以做出30度的角，答案显然是不行。 二、化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积； 圆与正方形都是常见的几何图形，我们设圆的半径为1，那么我们一起来看： 显示只是用尺规作图是无法做出含π的线段。 三、立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍； 这个问题刚出现时候，很多人主张将每边长加倍，经过计算发现是错的，因为体积已经变成原来的8倍。如体积为1的立方体边长为1，边长加倍后就变成2，相应体积变成了8。我们可以进一步这么研究： 从这里我们就可以看出新立方体的边长无法用尺规作图进行作图。 曾经过去相当长一段时间里，这些问题困扰很多数学家都不得其解，从现代数学角度我们去看，实际上这三大问题都不可能用尺规作图经有限步骤可解决的。 用直尺与圆规可以做出许多种图形，但有些图形确是做不出来。 解决这三大问题的限制是，只许使用没有刻度的直尺和圆规，尺规作图的原则。反过来如果抛开了尺规作图的原则，很多问题就游刃而解，我们以三等分角为例子，一起来看一下： 这种作法的关键一步是，使CD＝2OA，这只能使用有刻度的直尺才能实现，但这显然违反了尺规作图的原则。 有兴趣的朋友可以对另外两个问题进行研究。 |
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