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流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度： 静水速度，船本身的速度，即船在静水中航行的速度。 水流速度，水流动的速度，即没有外力的作用水中漂浮的速度。 顺水速度，当船航行方向与水流方向一致时的速度。 逆水速度，当船航行方向与水流方向相反时的速度。 它们的关系如下： 顺水速度＝静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度–水流速度 例1、两码头相距108千米，一艘客轮顺水行完全程需要10小时，逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。 1、 顺水速度：108÷10=10.8千米 2、 逆水速度：108÷12=9千米 3、 静水速度：(10.8–9)÷2=9.9千米 例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时，水流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米？这一客轮逆水行完全程，需要用几小时？ 要求逆水速度，需要知道顺水速度和水流速度；知道了逆水速度，就可求得行完全程所需时间。 1、 顺水速度：320÷8=40千米 2、 逆水速度：40-15×2=10千米 3、 逆水行完全程，需用几小时：320÷10=32小时 例3、某往返于甲乙两港，顺水航行每小时行15千米；逆水航行每小时行12千米，已知顺水行完全程比逆水少用2小时，求甲乙两港的距离。 顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说，逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米。顺水每小时比逆水快15-12=3千米，由此，求得顺水行完全程所需时间，进而求得两港的距离。 15×［12×2÷(15–12)］=120千米 例4、 甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？ 由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间，可以求得甲船速度与水速的和及差，从而可以求出水速。 由乙船逆水航行的距离和时间，可以求得乙船在逆水中的速度；由乙船逆水速度水速可以求得乙船顺水速度，从而求得乙船返回原地需要的时间。 1、 甲船的顺水速度 360÷10=36千米 2、 甲船的逆水速度 360÷18=20千米 3、 水流速度 (36-20)÷2=8千米 4、 乙船逆水速度 360÷15=24千米 5、 乙船顺水速度 24+8×2=40千米 6、 乙船返回原地时间 360÷40=9小时 例5、 AB两港相距120千米，甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行，甲船比乙船多行48千米，水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。 要求甲乙两船的静水速度，只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速度的差。 1、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的和 120÷6=20千米 2、 甲乙两船静水速度的和 甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米 3、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的差 48÷6=8千米 4、 甲乙两船静水速度的差 甲顺速-乙逆速=(甲静速+1.5)-(乙静速-1.5)=甲静速-乙静速+1.5×2=8 甲静速-乙静速、8-1.5×2=5千米 5、 甲船的静水速度。 (20+5)÷2=12.5千米 6、 乙船的静水速度 (20-5)÷2=7.5千米 把一定数量的东西平均分配，如果多分，东西不足；少分，东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况，这类问题叫做盈亏问题。 解答盈亏问题有下列几个公式： 1、 一盈一亏类 (盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数 2、 一盈一尽类 盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数 3、 一亏一尽类 亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数 4、 两盈类 (大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数
例1、 同学们去划船。如果每条船坐5人，有14人没有座位；如果每条船坐7人，多4个空位。问有多少条船？学生多少人？ 比较一下两次安排，第一次有14人没有座位，第二次又多4个座位，一盈一亏。两次相差14+4=18人。 这18人是由于第二次安排时每条船比第一次多坐7-5=2人，多出18人有几条船呢？ (14+4)÷(7-5)=9条 5×9+14=59人 或7×9-4=49人 例2、 学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人；每个房间住5人，刚好安排好。部有房间多少个？学生多少人？ 比较一下两次安排，第一次多出20人，第二次刚好，两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时，每个房间比第一次多住5-3=2人 例3、 学校买来一批新书。如果每人借5本则少150本；如果每人借3本则少70本。借书的学生有多少人？买来新书多少本？ (150-70)÷(5-3)=40人 5×40-150=50本 例4、 猴子分桃子。每只小猴分5个还多23个；每只小猴分9个还多3个。这堆桃子有多少个？小猴有多少只？ (23-3)÷(9-5)=5只 9×5+3=48个 例5、 一列火车装运一批货物，原计划每节车皮装46吨，结果有100吨货物没有装上去；后来改进装车方法，使每节车皮多装4吨，结果把这批货物全部装完，而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮？这批货物有多少吨？ ［100+(46+4)×2］÷4=50节……车皮 46×50+100=2400吨……货物 例6、 把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人，每人分给3只，其余小朋友每人分给3只，还余9只；如果其中2人分给3只，其余小朋友每人分给5只，恰好分尽。问橘子有多少只？小朋友有多少人？ 将第一种分配方案转述为：每人分3只，还多(4-3)×3+9=12只；将第二种分配方案转述为：每人分5只，还少5-3=2只。 1、 每人分3只，还多多少只？ (4-3)×3+9=12只 2、 每人分5只，还少多少只？ 5-3=2只 3、 小朋友有多少人 (12+2)÷(5-3)=7人 4、 橘子有多少只 4×3+3×(7-3)+9=33只 已知大小不相等的两部分，移多补少使两部分同样多的应用题，叫做差额平分问题。 通常的解答方法是：先求出两部分数量的差(差额)，再将其差平均分成两份，取其中一份，使两部分相等。
例1、 有甲乙两个书架。甲书架上有书940本，乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等，应从乙书架取多少本书放入甲书架？ 先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。 (1280-940)÷2=170 例2、 一班有学生52人，调6人到二班，两个班的学生人数相等。二班原来有学生多少人？ 由“调6人到二班，两个班的学生人数相等”，可知，原来一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人数。 52-6×2=40人 例3、 甲仓有大米1584袋，乙仓有大米858袋，每天从甲仓运33袋到乙仓，几天后两仓的大米袋数相等？ 要求“要运多少天”，先要求甲仓总共要运多少大米到乙仓，再求每天运33袋，要运多少天> (1584-858)÷2÷33=11天 例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时，甲组要22本，乙组要23本，丙组要30本。因此，丙组还给甲组13.5元，丙组还要还给乙组多少元？ 先要求平均时，各组应分得多少本，甲组少分了多少本，乙组少分了多少本。每本多少元，然后再求丙组还要给乙组多少元。 1、 平均分时，各组应得多少本 (22+23+30)÷3=25本 2、 甲少分了多少本 25-22=3本 3、 乙少分了多少本 25-23=2本 4、 每本多少元 13.5÷3=4.5元 5、 丙组还应给乙组多少元 4.5×2=9元 例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时，甲校比乙丙两校多分60棵，因此，甲校还给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元？ 1、 乙丙两校各少分了多少棵 60÷3=20棵 2、 每棵树苗多少元 160÷20=8元 例6、 甲仓有粮食100吨，乙仓有粮食20吨。从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍？ 要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍”，需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。 两仓一共有存粮多少吨，乙仓是甲仓的2倍，根据和倍应用题的解答方法，可求得调粮后甲仓有粮多少吨？再求要调出粮食多少吨。 1、 两仓共有粮食多少吨 100+20=120吨 2、 调粮后甲仓有粮多少吨 120÷(2+1)=40吨 3、 甲仓要调出多少吨到乙仓 100-40=60吨 100-(100+20) ÷(2+1) =60吨 文档顶端 糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度；盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质)，把溶解这些 物质的液体，如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等叫做溶液。 一些与浓度的有关的应用题，叫做浓度问题。 浓度问题有下面关系式： 浓度=溶质质量÷溶液质量 溶质质量=溶液质量×浓度 溶液质量=溶质质量÷浓度 溶液质量=溶质质量+溶剂质量 溶剂质量=溶液重量×(1–浓度) 例1、 浓度为25％的盐水120千克，要稀释成浓度为10％的盐水，应该怎样做？ 加水稀释后，含盐量不变。所以要先求出含盐量，再根据含盐量求得稀释后盐水的重量，进而求得应加水多少克。 120×25％÷10％-120=180克 例2、 浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？ 要求混合后的溶液浓度，需要知道混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量。 (500×70％+300×50％)÷(500+300)=62.5％ 例3、 有含盐8％的盐水40千克，要配制含盐20％的盐水100千克需加水和盐各多少千克？ 根据“要配制含盐20％的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量。 加盐多少千克：100×20％-40×8％=16.8千克
例4、 从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水后，再倒入清水将倒满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满。这样重复三次后，杯中盐水的浓度是多少？ 最后杯中盐水的的重量仍为100克，因此只需要求出最后盐水中含有多少盐，就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐，需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐，每次倒出的盐水虽然都是40克，但是由于浓度不同，所以含盐量不相同。 1、 原来杯中盐水含盐多少克？ 100×80％=80克 2、 第一次倒出的盐水中含盐多少克？ 40×80％=32克 3、 加满清水后，盐水浓度为多少？ (80-32)÷100=48％ 4、 第二次倒出的盐水中含盐多少克？ 40×48％=19.2克 5、 加满清水后，盐水浓度为多少？ （80-32-19.2）÷100＝28.8％ 6、 第三次倒出的盐水中含盐多少克？ 40×28.8％＝11.52克 7、 加满清水后，盐水浓度为多少？ （80-32-19.2-11.52）÷100＝17.28％ 文档顶端 应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。 解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
例1、 有三根铁丝，一佷长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。 （18、24、30）＝6 （18+24+30）÷6＝12段 例2、 一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？ 要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。 （36、60）＝12 （60÷12）×（36÷12）＝15个 例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？ 要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数＞ 1、 最多可以做多少个花束 （96、72）＝24 2、 每个花束里有几朵红玫瑰花 96÷24＝4朵 3、 每个花束里有几朵白玫瑰花 72÷24＝3朵 4、 每个花束里最少有几朵花 4+3＝7朵 例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？ 这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。 ［5、10、6］＝30 例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安适几个工人最合理？ 安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。 1、 在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？ ［3、12、5］＝60 2、 第一道工序应安排多少人 60÷3＝20人 3、 第二道工序应安排多少人 60÷12＝5人 4、 第三道工序应安排多少人 60÷5＝12人 例6、 有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？ 每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。 如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。 1、 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个 ［12、18、15］＝180 2、 在300至400之间的180的倍数是多少 180×2＝360 3、 这批零件共有多少个 360-1＝359个 例7、 一个数除193余4，除1089余9。这个数最大是多少？ 这个数除（193-4），没有余数，这个数除（1089-9）没有余数。这个数一定是（193-4）和（1089-9）的公约数。要求这个数最大，那么一定是这两个数的最大公约数。 193-4＝189 1089-9＝1080 （189、1080）＝27 例8、 公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？ 不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。 1、 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？ ［45、60］＝180 2、 全路长多少米？ 45×（25-1）＝1080米 3、 可以有几根不需要移动？ 1080÷180+1＝7米 文档顶端 顺次差1 的几个整数叫做连续数。 顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。 顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。 已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连续数问题。 连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项，最后面的项叫末项，转眼间的项叫中项。各个项数的和叫总和。 它的计算方法是： {和–［1+2+3+……+(项数–1)］}÷项数=最小项(首项) {和+［1+2+3+……+(项数–1)］}÷项数=最大项(末项) 总和÷项数=中间项(中项) (首项+末项)×项数÷2=总和 例1、 7个连续自然数的和是84，这7个数各是多少？ 可以先求最大数，也可以先求最小数，还可以先求中间数。 解法一：先求最大数： （84+1+2+3+4+5+6）÷7＝15 连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15。 解法二：（84－1－2－3－4－5－6）÷7＝9 连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15 解法三：当连续数的个数是奇数时，一般可以先求中间数。 84÷7＝12 连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15 例2、 6个连续偶数的和是150，这6个偶数各是多少？ 解法一：先求最大数：（150+2+4+6+8+10）÷6＝30 6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。 解法二：先求最小数（150-2-4-6-8-10）＝20 6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。 例3、 有七个连续奇数，第七个数是第二个数的3倍。求各数。 第七个数比第二个数大2×（7-2）＝10，第七个数是第二个数的3倍，根据“差倍应用题”的计算方法，就可先求得第二个数。 ［2×（7-2）］÷［3-1］＝5 七个连续奇数是：3、5、7、9、11、13、15。 例4、 有七张电影票，座号是连续的单号。其座号的和是49，这些票各是多少号？ 解法一：先求最大号： （49+2+4+6+8+10+12）÷7＝13 七个连续的单号是：1、3、5、7、9、11、13。 解法二：先求最小号 解法三先求中间号：（略） 文档顶端 我们知道，求两个数的和，只要直接相加就可得到结果。但是在有的情况下，却不能直接相加，它关系到重叠部分的数量关系的问题，我们把这类问题称为“重叠问题”。 解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算一个问题时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，然后再减去重叠计算的部分。
例1、 同学们去采集标本。采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有25人，两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人？ 要求去采集标本的总人数，不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人，在25人中也包含有16人。重复包含的16人加了两次。所以，还要减去重复计算的16人。 32+25-16＝41人 例2、 某班36个同学在一次数学测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都对的有15人。问有几个同学两题都不对？ 要求有几个同学两题都不对，先要求做对其中一题的有几人。 1、 做对其中一题的有几人 25+23-15＝33人 2、 有几人两题都不对 36-33＝3人 例3、 一个班有学生45人，参加体育队的有32人，参加文艺队的有27人，每人至少参加一个队。 问这个班两队都参加的有多少人？ 32+27＝59人，总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队。所以只要在总数中减去全班的人数，就是两队都参加的人数 32＋27－45＝14人 例4、 某班数学、英语期中考试的成绩如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班有学生多少人？
从图中可以明显地看出，两门功课都得100分的有3人，在10人中计算了一次，在12人中又计算了一次。 26+（10+12-3）＝45人 例5、 某班共有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰,46人会打乒乓球。问四项活动都会的人数至少有多少人？ 要求四项活动都会的人数至少有多少人，首先要求出有一个项目不会的至多有多少人，然后从总人数中减去它。 1、 不会游泳的有多少人？ 50-35＝15人 2、 不会骑自行车的有多少人？ 50-38＝12人 3、 不会溜冰的有多少人？ 50-40＝10人 4、 不会打乒乓球的有多少人？ 50-46＝4人 5、 有一个项目不会的至多有多少人？ 15+12+10+4＝41人 6、 四个项目都会的至少有多少人？ 50-41＝9人 例6、 有三个面积都是60平方厘米的圆，两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。三个圆相交部分的面积为5平方厘米。总体图形盖住的面积是多少平方厘米？ 先求得三个圆面积的和，再减去两两相交的重叠部分。这样三个圆相交部分的面积多减了一次，要加上它。 6×3-9-13-15+5＝148平方厘米
例7、 在26名同学中会打乒乓球的有13人，会打网球的有12人，会打羽毛球的有9人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人，既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打，也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打网球？ 设既会打乒乓球又会打网球的有X人。 由图可知，只会打乒乓球的有（11-X）人；只会打网球的有（9-X）人；只会打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。 11-X+9-X+4+X+2+3＝26 X＝3 文档顶端 以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题，叫做时钟问题。 时钟问题可以理解为分针追时针的追及问题。解答这类问题的关键就是求“速度差”。 分针走60格的同时，时针只走了5格。也就是分针走一格，时针走 = 格。分针每分钟比时针多走1– = 格。这个速度差是固定不变的。 例1、 现在是下午4时正，5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分？ 这是分针追及时针的问题。4时正，分针在时针后20小格，两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格。 20÷（1– ）＝ 分 例2、 现在是下午1时，再过多少时间，时针与分针第一次成直线(反方向)？ 时针与分针成直线时，两针两针之间差30格。1点钟时，分针还在时针的后面，这时两针不可能成直线。显然，分针必须在越过时针后，才能出现两针成直线的情况。也就是说，从1点起，分针必须比时针多走（5+30）＝35格 （5+30）÷（1-）＝ 分 例3、 2点与3点之间，时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分？ 两针成直角时，两针之间相差15格，2点时，分针落后时针10格，必须让分针赶上时针，并超过时针15格，才能成直角，也就是说，分针要比时针多走10+15＝25格。 10+15÷（1- ）＝分 例4、 时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方向为止，中间一共需要多少时间？ 第一次成反方向时，分针落后（或超过）时针30格，到第二次再成反方向时，分针必须比时针多走30+30＝60格 （30+30）÷（1-）＝65 分＝1时5分 秒 例5、 9时与10时之间，时针与分针正好成60度角，这时候的时间是多少？ 60度即钟盘上10格。有两种情况： 1、 分针与时针重合以前成60度角。9时，两针相差45格。即分针要比时针多走45-10＝35格 （45-10）÷（1-）＝ 分 2、 分针与时针重合以后成60度角。分针要比时针多走45+10＝55格 （45+10）÷（1-）＝60分 例6、 两针正好成60度角的时刻是5点40分，不需多少时间两针第一次重合？ 解法一：可以考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差，直接求出所需时间。 1、 两针的路程差。 20+30- ×20＝ 格 2、 所需时间 ÷（1- ）＝ 分 综合算式 （20+30- ×20）÷（1- ）＝ 分 解法二： 将问题转化为：先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。 1、 从6时至两针重合所需时间。 30÷（1- ）＝ 分 2、 从5时40分至两针重合所需时间 20+ ＝ 分 文档顶端 工程问题是一种典型的分数应用题。这类应用题的特点是：题中不给出工作量的具体数量，而用整体“1”来表示；工作效率以单位时间内完成工作总量的几分之几来表示，而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。 基本数量关系式是： 工作量÷工作效率=工作时间 在运用上面数量关系进行解答时，要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。 例1、 甲乙两队合作某一项工程，12天可以完成；如果甲队工作2天，乙队工作3天，他们只能完成这项工程的20％。甲乙两队单独完成这项工程，各需多少天？ 解法一： 把“甲队工作2天，乙队工作3天，只能完成这项工程的20％”转换成“甲乙两队合作2天，乙再工作1天”。 把这项工程看作单位“1”，甲乙合做1天可完成这项工程的，合做2天可完成这项工程的 ×2，从而求得乙的工作效率： （20％- ×2）÷（3-2）＝ 乙单独完成这项工程的天数 1÷ ＝30天 甲队单独完成这项工程的天数 1÷（ - ）＝20天 解法二： 假定甲与乙一样工作3天，完成的工作量为 ×3＝ ，这时工作量必定超过20％，超过部分 +20％，就是甲队一天的工作量。 甲队单独完成这项工作所需时间 1÷（ ×3-20％）＝20天 乙队单独完成这项工作所需时间 1÷（ - ）＝30天 例2、 甲乙丙三个车队运输一批货物。甲乙两个车队在6天内运完，以后由乙丙两个车队合运2天，完成了余下货物的 ，最后甲乙丙三个车队合运5天才运完。甲队、乙队、丙队单独运输这批货物，各需多少天？ 要求甲乙丙三队单独运输，各需多少天，要设法求得甲乙丙三队的工作效率。 甲乙两队的工作效率为 ÷6＝ ； 乙丙两队的工作效率为（1- ）× ÷2＝ ； 三队合做的工作效率为（1- ）×（1- ）÷5＝ 。 由此，可求得甲队、乙队、丙队的工作效率。 1、 甲乙两队的工作效率 ÷6＝ 2、 乙丙两队的工作效率 （1- ）× ÷2＝ 3、 三队合做的工作效率 （1- ）×（1-）÷5＝ 4、 甲队单独运完这批货物所需天数 1÷（ - ）＝60天 5、 乙队单独运完这批货物所需天数 1÷［ -（ - ）］＝ 天 6、 丙队单独运完这批货物所需天数 1÷（ - ）＝ 例3、 一项工程，原定100人，工作90天完成；工程进行15天后，由于采用先进工具和技术，平均每人工效提高了50％。完成这项工程可提前几天？ 要求完成这项工程，可以提前几天，先要求出实际所用的天数；要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）。采用先进技术后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］，进而求得余下的工程所用的天数。 1、 100人工作15天后，还余下全工程的几分之几？ 1- ×100×15＝ 2、 改进技术后，100人1天可以完成这项工程的几分之几？ ×（1+50％）×100＝ 3、 余下的工程要用多少天？ ÷ ＝50天 4、 可提前多少天？ 90-15-50＝25天 综合算式： 90-15-（1- ×100×15）÷［ ×（1+50％）×100］＝25天 例4、 有一水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管排水。空池时，单开甲管5分钟可注满；单开乙管10分钟可注满。水池注满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要几分钟可以注满水池？ 分析与解： 先求出甲乙丙三管齐开2分钟后，注满了水池的几分之几，还余下几分之几。再求余下的要几分钟。 1、 三管齐开2分钟，注满了水池的几分之几？ （ + - ）×2＝
2、 还余下几分之几？ 1- ＝ 3、 余下的还要几分钟？ ÷（ - ）＝4分钟 例5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大麦地上，到傍晚时正好把大麦地的麦割完；另一半到小麦地去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块第二天由1人去割，正好1天割完。这个割麦队共有多少人？ 分析与解： 把大的一块麦地算作单位“1”，小的一块麦地为 。根据题意，一半成员半天割了 ，一天割了 ，全队成员一天可割 ×2＝ 。 1、 全队成员一天可割几分之几？ ×2＝ 2、 所剩的一小块面积是几分之几？ -（ -1）＝ 3、 全队有多少人？ （1+ - ）÷ ＝8人 例6、 一项工程，甲工程队每天工作8小时,3天可以完成；乙工程队每天工作9小时，8天可以完成。如果两工程队合作，每天工作6小时，几天可以完成？ 分析与解： 要求两队合做，几天可以完成，先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几，乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几。 1、 甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几？ 1÷（8×3）＝ 2、 乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几？ 1÷（9×8）＝ 3、 两队合作几天可以完成 1÷（ ＋ ）÷6＝3天 综合算式： 1÷［1÷（8×3）+1÷（9×8）］÷6＝3天 例7、 一件工作，3个男工和4个女工一天能完成 ；3个女工和4个男工一天能完成。如果由1个女工独做，几天可以完成？ 分析与解： 要求由1个女工独做，几天可以完成，先要求得1个女工的工作效率；要求1个女工的工作量，先要求1个男工和2个女工一天的工作量。 “3个男工和4个女工一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成；“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + 。” 1、 7个男工和7个女工一天的工作量。 + ＝ 2、 一个男工和一个女工一天的工作量。 ÷7＝ 3、 一个女工一天的工作量 - ×3＝ 4、 一个女工独做需要多少天 1÷ ＝18天 例8、 一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天可以完成，丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天，结果6天完成任务。甲休息了几天？ 如果甲没有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的几分之几，超过了几分之几，然后求得甲休息了几天。 1、 三人合做6天，完成了工程量的几分之几？ （ + + ）×6＝ 2、 超额完成了工程的几分之几？ -1＝ 3、 甲休息了几天？ ÷ ＝5天 文档顶端 牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的，所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加，解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。 牧场上长满牧草，每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天？ 牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。 10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量。 设法求出一天新长出的草量和原有草量。 1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天？ 10×20=200头、 2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天 15×10=150头 3、(20–10)天新长出的草可供多少头牛吃一天？ 50÷10=5头 4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天？ 50÷10=5头 5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天？ 5×20=100头 或5×10=50头 6、原有的草可供多少头牛吃一天？ 200–100=100头 或150–50=100头 7、每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，可吃几天？ 100÷(25–5)=5天 例2、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台？ 随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变。 1、 3台抽水机的抽水量。 3×36=108台分 2、 5台抽水机的抽水量。 5×20=100台分 3、 使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟？ 36–20=16分 4、 使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。 108–100=8台分 5、 泉水每分钟涌出的水量，算出需要抽水机多少台？ 8÷16= 台 6、 水井分钟涌出的水量。 ×36=18台分 7、 水井原有的水量。 108–18=90台分 8、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。 ×12=6台分 9、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。 90+6、12台分 10、 需要抽水机多少台？ 96÷12=8台 例3、一片青草，每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？ 先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，题目可以转换成：这片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，问(4×10+60)只羊吃多少天？ 1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？ 4×10×20=800只天 2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？ 60×10=600只天 3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天？ 800–600=200只 4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天？ 200÷10=20只 5、 20天新长出的草可供多少只羊吃一天？ 20×20=400只 6、 原有草可供多少只羊吃一天？ 800–400=400只 7、 可吃多少天？ 400÷(4×10+60–20)=5天 文档顶端 汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。 这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。 这类问题的解题依据是： 1、 如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。例如： 20÷3=6……2 (20-3×5)÷3=21……2 (20+3×15)÷3=1……2 2、 如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如： 20÷9=2……2 (20×3)÷9=6……6 (20÷2)÷9=1……1 例1、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。 1、 求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。 70×2=140 2、 求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。 21×3=63 3、 求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。 15×2=30 4、 求得上面三个数的和 140+63+30=233 5、 求3、57的最小公倍数 ［3、5、7］=105 6、 如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍 233–105×2=23 例2、 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。 解法一： 70×2+21×2+15×4=242 ［3、5、7］=105 242–105×2=32 解法二、 35+21×2+15×4=137 ［3、5、7］=105 137–105=32 例3、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。 1、 因为［6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=168 2、 因为［7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=70 3、 ［5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=120 4、 ［5、6、7、］=210 5、 168+70+120–210=148 例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。 1、［6、7、11］=462 462÷5余2 462×3÷5余1 取462×3=1386 2、［7、11、5］=385 385÷6余5 385×5÷6余5 取385×5=1925 3、［11、5、6］=330 330÷7余1 220×4÷7余4 取330×4=1320 4、［5、6、7］=210 210÷11余1 210×10÷11余10 取210×10=2100 5、求四个数的和 1386+1925+1320+2100=6731 6、［5、6、7、11］=2310 7、6731–2310×2=2111 |
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