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分形的维数与分形几何的特征

1967年曼德尔布罗特（B.B.Mandelbort, 1924- ） 发表的《英国的海岸线有多长？统计自相似与分数维数》论文，建立了“分形几何”。分形几何是研究和描述复杂曲线和图案的一种强有力的工具。经过与其他创新思想一样的坎坷曲折经历之后，近年来，分形的思想和理论开始受到广泛重视，在数学、物理、化学、生物及计算机科学众多的领域都有不少人在进行分形理论、技术和应用的研究。

从上面显示的分形图片我们可以看出，分形以其独特的方式来体现整体与部分的关系，利用空间结构的对称性和自相似性，使整个生成的景物呈现\出细节无穷回归的性质，内容丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。 

1986年曼德尔布罗特曾经给出过一个分形的定义：组成部分与整体部分以某种方式相似的形，也就是说：分形一般具有自相似性。然而分形理论发展到今天，人们已经不限于只研究对象的自相似性了，而是考虑，只要一个对象的部分与整体具有自相仿的变换关系，就称它为分形。今后，分形的范围还可能进一步拓宽，只要部分与整体以某种规则联系起来，通过某种变换使之对应，就可以将其看成分形。其实分形的本质就是标度变换下的不变性。为了帮助大家了解分形学，这里我们介绍一些重要的分形概念与相关的知识。

一、分形的维数

曼德尔布罗特说，为使分形几何有意义，我们不得不寻找一种方法，从数量的观点来表达形状的复杂性，就象欧几里得几何引用角度、长度、面积、曲率，以及用一维、二维、三维这些概念一样。 他引入了一个分维（Fractal Dimension）的概念。那么什么是分维？曼德尔布罗特先让大家回顾在欧几里得几何维数的概念。

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。通常，它们的维数值不是整数。

1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ）

a. 点 —— 零维   b. 线 —— 一维    c. 面 —— 二维    d. 体 —— 三维

2. 分数维

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家豪斯道夫(Hausdorff ,1868-1942)从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

曼德尔布罗特认为，我们可以从两方面建立起分维的概念：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2¹、2²和2³个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。 一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b， D=logb/loga  的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

另一简单的分形维是质量维。一维直杆质量的增加与长度成正比，比方说，是2R。半径为R的二维圆盘质量的增加与圆面积πR^2成正比。球质量的增加与圆球体积4/3πR^3成正比。这样看来，当维数进一步增加，质量的增加便和R的相应维数的方次成比例。 在分形情况下，质量的增加与R的Dm起普通维数的作用，因为称之为分形维是很自然的。很幸运，在所有简单情况下，Ds和Dm（以及分形维的其他定义）严格地取同一值。若不是最简单的情况，它们的值可以不同。 

维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。即：如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λD   D即维数 D = logｋ/logλ
其中： λ 为线度的放大倍数，ｋ为“体积”的放大倍数 ，D = logｋ/logλ

显而易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、面、体）的整数维。

D线=log2/log2=1

D面=log4/log2=2

D体=log8/log2=3 

二、分形的性质

（1）自相似性

什么是自相似呢？例如一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。

	谢尔平斯基垫片或海绵的维数： d=log3/log2 =1.58… 科赫曲线的维数： d=log4/log3 =1.26… 对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。

 由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。 象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展！准确的说，我们把上面定义的分数维称为相似性维数。相似性维数通常被定义为具有严格自相似性的维数。

自相似性是分形理论的实质，它的提出具有重大的科学和哲学意义；自相似的概念与西方的古代文明，特别是与古老的东力传统思想有着密切的联系。古希腊哲学家阿那克萨戈拉提出了著名的种子说。认为一切复合物都是由种子构成的，每一粒种子都包含着一堆有相同部分的物体。存在物本身是由许多自身相同的部分组成的，即部分与整体相同。世界也是由许多相似的小片构成的。

（2）对称性

分形的对称性既表现了传统几何的上下、左右及中心对称，同时它的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。

我们希望从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。既然分形可用于描述复杂的自然界外形，那么分形能描述复杂的动力学系统的行为也就不足为奇了。正如以前在有关混沌系列文章中所表明的，模拟液体湍流、天气、或昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。如果对这些方程做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做计算图示时，显示了其自身是自相似的。