分形几何学

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分形几何学

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分形几何学

普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。

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编辑本段分形几何的由来

　　客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚

分形几何学

至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

　　客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。

　　如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。

编辑本段分形几何学的产生

　　在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。

　　如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分

分形几何学

界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。

　　数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。

　　这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。

　　电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。

　　法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。

编辑本段分形几何的内容

分形几何学的基本思想

　　分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形

分形几何图

态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

维数

　　维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论

　　分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维

　　维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

　　当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

　　对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。

编辑本段分形几何学的应用

　　分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。

　　在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

　　自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。

　　有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。

　　近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

编辑本段分形几何学的意义

　　上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

　　分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

分形几何学的概述

2007-11-04 15:28:04 来自: [已注销]

　 1975年，著名科学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)发表了划时代的专著《分形：形态，机遇和维数》，这标志着分形几何学的诞生，该书于1982年再版时易名为《大自然的分形几何学》。
　　分形几何学起先是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的，由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支，在众多学科领域里有着广泛的应用。分形一词即由曼氏于1975年创立。它的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的空间几何形态。比如分形的典型例子，科赫曲线(Koch Curve)便是以初等数学方法构造的一类处处不可导的连续曲线。
　　取长度为1的直线段，称为初始元(initiator)，将该线段的中间1/3用一个隆起的等边三角形的另两边替代，得到一条由四个等长直线段构成的折线，称为生成元(generator)。再将生成元的四个直线段中的每一个，都用一个缩小为1/3的生成元来替代，从而形成一条有次级隆起的折线。继续这一操作，以至无穷，得到科赫曲线。显然，每条线的“内部”结构与整体相似(曼德布罗特，1998)。
　　将一个等边三角形的每条边按上述过程构造，便得到首尾相连的科赫雪花曲线。可以证明，由雪花曲线围成的面积小于该等边三角形外接圆的面积，且趋于一个极限值，而围成这个有限面积的边界曲线却是无限长。这明显不同于以往的周长与面积概念，这是一个吊诡现象(paradox)。诸如此类的分形实例还有许多，又如图2：
　　谢尔宾斯基地毯(Sierpinski carpet)，初始元是一个正方形，生成元是镂空的正方形，相继如图操作，最终该地毯的面积为0，孔的周界长度无限。

分形的定义
　　曼德布罗特曾给出分形的定义：分形是局部与整体在某种意义下存在相似性的形状。这强调了分形的自相似性，但把某些分形排除在外。
　　后来，英国数学家法尔科内(Falconer，1991；1999)提出罗列分形集的性质，来给分形下定义。如果集合F具有下面所有的或大部分的性质，它就是分形：
　　1　F具有精细的结构，即有任意小尺度的不规则的细节；
　　2　F具有如此的不规则，以致于它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述；
　 3　通常F具有某种自相似或自仿射性质，这可以是统计意义上的；
　　4　F的“分形维数”(用某种方式定义的)通常严格大于它的拓扑维数；
　　5　在许多有趣的情况下，F具有非常简单的、可能是由迭代给出的定义；
　　6　通常F具有“自然”的外貌。
　　有必要明确，分形的不规则性并非无序，而是存在层次结构(hierarchical organization)按一系列尺度(scales)在几何形态上自身重复，即这种不规则的形态在层层尺度上是相似的，从而可称之为自相似性(self-similarity)或标度不变性(scale-invariance)。
　　顺便说明，自相似即是自身进行相似变换，也称尺度变换或标度变换(scale transformation)，属于线性变换。这样的分形，包括自相似分形，统称为标度分形(scaling fractal)，本文所讨论的分形均在此范围内。若是非线性变换，则称为非标度分形(non-scaling fractal)(曼德布罗特，1998)。此外，在物理学中两个变量之间只要满足标度关系就被称为标度行为，因而标度分形具有标度行为，其分形维数可称为标度指数(scaling exponent)。
　　自然界当中，闪电、树枝、花菜、海岸线和海螺纹，其形态就具有分形特征。当然，这些现实中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征。而分形是数学上的几何抽象，具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何的直线和平面是数学抽象，在现实中是找不到的。