【拓扑】英国的海岸线有多长？

开启一个全新的系列。聊聊与数学，主要是与几何有关的话题。感觉挺长时间没聊数学了，还真就有点想了。先问大家一个小问题，英国的海岸线有多长呢? 咋一听这个问题，我想绝大多数的朋友都不知道确切的数值，感觉这好像并不是一个纯纯的数学问题，而更像是一个地理方面的知识点，如果地理知识储备的足够丰富的话，那么，应该能够记得这个答案。

但是，这并不是问题的重点，并不是想要考验你的记忆力，重点是，即使现在，就让你亲自拿着尺子到英国去一趟，亲手去测量一下海岸线，那么，你能够得出英国海岸线的准确长度吗？感觉这也没啥复杂的，那就慢慢量呗，有啥量不准的。

有朋友可能会问了，这个是不是脑筋急转弯呀，因为有海水的潮涨潮落会影响海岸线的长度，所以测不准，当然，这是一个影响因素，但这也不是今天要讨论的重点，我们可以假设海平面没有波动，就是单纯的用尺子去测量海岸线的问题，能不能测准呢。各位先不用着急回答。让我们先听听故事。

1967年，法国的数学家【曼德布罗特】在国际著名的权威杂志《sciense》上发表了一篇论文，论文的题目就叫【英国的海岸线有多长?】你一听这名，感觉有点像地理杂志上旅游的推广，或者是初中生的科普专栏，但就是这么一篇题目看起来不太严肃的论文却掀起了数学史上的一次大变革。这篇论文经过一顿热烈的讨论，最后给出的答案是，英国的海岸线根本就没有一个准确的长度。或者说，英国海岸线到底有多长，这完全取决于测量时所使用的尺子，而并不是海岸线本身。

为啥这么说，你想想，海岸线长的是啥样的呢，由于常年海水的冲击和陆地的不规则变迁，它保证是曲曲折折，七弯八拐的，形成了大小不一的海湾，不管是哪国的海岸线，仔细一看保证都是曲线，不可能像一个电冰箱似的，长宽高一量，大小就一目了然。所以，在实际的测量当中，如果我们用一把大号的尺子，比如以千米作为单位的话，那么，几米，几十米，几百米的小弯曲，这部分海湾就会被完全忽略掉了，如果，用一把小点的尺子，比如改用米作为单位，结果呢，上面那些被忽略了的弯曲部分就都要被计算在内了，这就比大尺子测出的结果要长出一部分了，但是，比米级别小的，厘米，微米这样量级的弯曲，你可以相像成只是一块突出的石头块，这些就被忽略掉了。

进一步的，如果我们使用微米的尺子，甚至是纳米的尺子呢，不难看出，随着测量单位的不断减小，被计入的弯曲就会越多，测得出的海岸线长度自然也就会越长。所以说，英国海岸线的长度是没法精确测量的，不只是英国的，哪国的都一样，这个长度都是不确定的，虽然这听起来有点诡辩的味道，但是仔细想想，还真就是这么回事。

用【曼德布罗特】的话说就是：“若用卫星在天上观察的方法，一定会得出较短的海岸线长度。反过来，让蜗牛爬过每一个石子，这条海岸线必然会长得惊人。”

更进一步的，我们还可以这样设想，如果真的是用分子、原子量级的尺度做为测量单位时，得出的长度将是一串天文数字，具体是多少，我们不知道，而且也没有什么实际意义，但是，这不妨障给我们带来一些数学上的思考，随着测量单位变得无穷小时，海岸线的长度就会变得无穷大，所以，世界各国给出的海岸线长度数据，在数学家的眼前，都是渣渣，更准确的说，这只是在以某个精准级别上得出的一个粗略的结果而已，所以，地理学家看数学家可能就是疯子，数学家看地理学家就是傻子。

说到这，大家基本就听懂了问题的关键所在，就是以不同的精度去测量一条不规则的曲线，就会得到不同的长度。虽然【曼德布罗特】说的很有道理的样子，但是总感觉这只是数学家们的头脑风暴而已，纯属吃饱饭撑的，自娱自乐，你说你天天研究这玩意有啥用呀，有啥实际意义呢，这不是闲的吗。但是，实际上，在现实生活当中，由此引发的问题还真就不少。

比如在早些时候，人们就发现葡萄牙人与西班牙人对他们的共同国境线的长度说法就不一样，这两个国紧挨着，历史上也有很多的渊源，关系一直也都挺友好的，对于弯弯曲曲的边界线也没有太多的纠纷。但是，这两个国家的各种出版物当中，给出的边界长度却有很大的差别，按照葡萄牙人的说法，这条国界线的长度是1214千米，而西班牙人却说是只有987千米，这就差了二百多千米呢，同样，荷兰和比利时之间的共同边界线，双方给出的长度也不一样，这还是仅涉及到两个国家，再比如，欧洲第二长河多瑙河，流经了9个国家，他究竟有多长呢，答案也不一样，有的说是2850千米,有的说是2706千米，还有的说是2780千米，当然了，一百多米的区别起码说明大家测量的【尺子】还是同一量级的，注意，我说的这个尺子是打引号，只是形容一种测量的方式方法，当然不可能一堆地质学家真的拿个直尺，拿个圆规撅屁股在地上测量。

【曼德布罗特】提出的这个看似地理学上的问题，居然是引发了物理学，数学上的思考。确实，在日常生活当中，并不需要那么精准的结果，就像是一个国家的面积，一个国家的人口一样，也都只是一个大概的数值，只要能足以满足生产生活就行了。就比如海岸线的测量，使用1米作为基本单位进行测量，也就够用了，因为，正常人走路的时候，一步大约就是75厘米，所以，在你走路的时候，就会忽略掉小于这个长度的弯曲部分，小石头，小土包，小水沟你直接一步就迈过去了，而对于汽车，还有更大型的轮船，自然就会忽略掉更大一点的曲折部分了。所以，我国大陆海岸线长度大约是1．8万千米，这就意味着，从鸭绿江口，一直开到广西北仑河口，时速120公里的话，大约就需要150小时。这是海岸线长度对我们现实生活的指导意义。

而在物理的世界中，如果我们按照【曼德布罗特】的观点无限的思考下去，这种越来越精细的测量过程必然也会有一个终结，不可能无限的分割下去，这就像对于微观世界的探索一样，从分子到原子，再到中子、质子，电子，再到普朗克长度，无论怎么分割下去，最后，总会受制于当时科技水平，找不到更锋利的刀，更微小的尺。

但是，在数学家眼里，这完全是另外一种光景，因为，他们根本就不考虑现实世界的事，从数学家理想化的观点看，这种越来越精细的测量过程，可以无限的进行下去，测量结果也可以无限地增大，所以，最终的结果就是每条曲折的海岸线，理论上有着无穷的长度。

【曼德布罗特】用这样的通俗易懂的例子让我们领略到了不规则曲线长度的问题，也让这个问题超越了地理学的范畴，超越了物理学的范畴，最终还是回归到数学的本质上，也就开创了几何学中一个全新的领域，这就是分形。

当然了，【曼德布罗特】绝不仅仅是考虑了海岸线的长度问题这么简单，在此之前，他对前人认为的数学上的“怪物”，比如康托尔三分集、皮亚诺曲线、雪花曲线、谢尔宾斯基地毯等问题都进行了深入研究，并且进行了统一的处理，只是用海岸线这个大家容易接受的形式向大家普及，推广一下，最终是打开了一扇崭新的分形几何学的大门。

分形

到底什么是分形呢，这个三两句话很难说清楚，得用四句话才行。分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程，可以说分形的核心就是自相似性，就是取任一部分进行适当放大，仍可得到与原来整个图形相似的图形，就相当于不断的克隆，一个比一个小，不停的重复下去。

      我举个例子，比如说，有一天，我红了，我火了，有个卖尿不湿的厂家找我做广告，当形象大使，要把我光辉的形象印在他们的商品上，并且还让我摆个pose，左手拿着一包尿不湿，右手伸出大拇指，旁边再配上一句话，妈妈再也不用担心我尿裤子了。这就是一个分形的问题，从哪看出来的呢，因为，当你买了一包尿不湿，就看到这上面我的形象，把图中我手中拿的这包尿不湿放大之后，还会看到这上边印着一个我手中拿着尿不湿的形象，你再把这个尿不湿再放大，里边还是有一个我，还是左手拿着一包尿不湿，右手伸出大拇指，妈妈再也不用担心我尿裤子了，如果印刷水平足够的精细，放大镜的倍数也足够牛逼的话，那么，理论上就会看到无穷无尽的我，手中拿着无穷无尽的尿不湿，这就是分形的思想。

好了，从感性让理解了分形，那么专业的问题也就没那么复杂了，前面说的数学中的那个几怪物是啥意思呢，也是一个道理。

比如说康托尔三分集，这也是一个重复性的操作，先取一条长度为1的线段，把它三等分，去掉中间那一段，剩下左右两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，这就剩下更短的四段，继续按照这个规律操作，三等分，去中间，三等分，去中间，一直继续下去，直至无穷，在这个不断分割与舍弃过程中，所形成的线段数目会越来越多，长度也越来越小，在极限的情况下，就得到一个离散的点集，这就叫康托尔三分集，你要问这玩意有啥用，对于我们普通百姓来说，真就没啥用，但是，你可以领略一下数学的气质与美感。

这就是一个局部与整体相似的分形系统，你把任意一段拿出来放大一看，与整体都有同样的性质，而且，这也让传统的几何学陷入危机，用传统的几何语言难以准确描述，你要说这是点吧，感觉还不是那种传统意义是没有长度的点，你要说他是线段吧，最后又都给切的稀碎稀碎的了，理论上长度又是零，在结构上，它既不满足某些简单条件，比如说是点运动的轨迹，也不是任何简单方程的解集，所以，在【曼德布罗特】提出分形之前，康托尔三分集无异于就是数学中的怪物。

再比如，这个雪花曲线，也叫科赫曲线，这个也不难，你自己就能画出来，先在纸上画一个正三角形，尽量画的大一点，然后把三角形的每一边都三等分，再以中间这一段作为边，向外作一个正三角形，然后，把原来的“中间这一段”擦掉，这时候就形成了一个六角星的图案，看起来有点雪花的意思了吧，这只是第一步，接下来，你要做的就是重复以上的步骤，把一边三等分，以中间那段为边再做一个正三角形，一直重复下去，就更像雪花了，最后形成的这个曲线就叫做科赫曲线。你要问这玩意有啥用，同样，也真是没啥用，但是我们也可以领略一下他的气质，他有一个明显的特点，就是这片雪花的面积是有限的，但是他的周长却是无限的。虽然，你不会计算他的面积，没关系，你总可以在这个雪花外边画一个大圆把它给包上，所以，它的面积不会大于这个圆，所以面积是有限的，但是，他的周长呢，每重复一次上面的这个操作，就会多出一些小的三角形，小三角形边长是原来的1/3那么长，但是边数是原来的4倍，所以，周长是原来的4/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加了1/3。子子孙孙无穷匮也，最后一定是无穷大了，也就是用'无穷大'的边界，包围着有限的面积，救活了篱笆厂，坑死了开发商，你说这上哪说理去。所以，这种曲线也被当时的数学家称为病态曲线。

是不是，感觉这个雪花曲线就和英国的海岸线长度的问题有了几分相似之处呢。不断的放大，就会发现无穷的细节，但是，人家这个雪花的反复迭代是按照着明确的规律进行下去的。那么，海岸线的曲折变化是否也有着一定的规律呢。

带着这种想法，【曼德布罗特】就这么操作了一下，设海岸的起点和终点分别是AB，截取了其中的一小段，假设为AC，把AC放大之后，发现它和AB极为相似，同样，在AC之间，再取更小的一部分，比如是AD，然后再进行放大，结果发现这个形状与AB,AC都惊人地相似，可以再截取，再比较，结果都是十分的相似。换句话说，任意一段海岸线就象是整个海岸线按比例缩小的结果，这简直就是上帝用海水与沙石制成的科赫曲线。这要是用老和尚的话说，还真就有点一沙一世界，一花一天堂的味道，你就会觉得数学，物理，大自然，乃至整个宇宙都是相通的。也不禁让我想起了爱因斯坦的这句名言，宇宙最不可理解的地方，就在于它居然是可以理解的。

早在古希腊时代，毕达哥拉斯学派有一句名言，万物皆数，他们非常重视数学，想用数来解释一切，认为数是宇宙万物的本原，研究数学的目的不仅是要使用它，更重要的是为了探索自然的奥秘。同样，人们对于几何学有着相似的迷恋与尊崇。很长一段时间以来，人们，也包括无数的大数学家在内，都习惯于用自己最为熟悉的欧几里得几何学来描述整个大自然，整个宇宙，就像是我们小时候学习简笔画一样，会把一个图画拆分成几个简单的图形，比如你想画一只猪，那就先画一个圆，这就是脑袋，再画两个小三角，这就是耳朵，再点两个点就是眼睛，一个椭圆加两个小圆圈，这就是鼻子。这种朴素的思想流传甚广，千百年来，我们都觉得，无论是自然界中多么复杂的图形都可以回归到，点、线、面，三角形、正方形、圆形等这些基本的图形上，正如伽利略所说：自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆和其他图形。

可是，就像是无理数的出现导致了第一次数学危机，进而破坏了毕达哥拉斯学派对于万物皆数的完美信念一样，随着观察的细致与深入，人们开始逐渐发现，在大自然绘制的这幅绚丽而复杂图像面前，传统的欧式几何学就显得十分的局限而无力了，因为欧式几何只能描述一些非常有限，并且非常规则的形状。但是，大自然却从来不受这种传统几何的束缚。

比如说，云彩不是完美的球体，高山也不是简单锥体，海岸线更不是简单线段的叠加，就连树皮也不是光滑的，此时的欧式几何就像一个系统自带的画图功能，已经无法满足磨皮，滤镜，各种高光，美白的需求了。无论是人的血脉、鸟的羽毛，还是十里群山，一片叶子，如果你仔细观看，就会发现，这都不是简单的几何图形的组合，所以，自然界所处的真实状态，跟咱们的传统认知根本就不是一个级别的，再想用传统的几何语言来描述大自然的不规则形态，就显得无能为力，力不从心，心烦意乱，乱七八糟了。

面对着大自然的变幻莫测，我们怎么办呢，要利用何种新式的工具呢。人们通过观察就发现了，虽然大自然的构型极为繁复庞杂，但是它的背后，似乎还蕴藏着一种我们暂时还无法准确描述的规律，比如说大树从树干分出树枝，再分出更小的树枝，动物身上的血管也是，大血管发出小血管，小血管再发出毛细血管，河流也是从主干不断发出分支，一座大山，细看有一些小的山，再离近了看，还有更小的山。不难看出，他们都有一个共同的特征，就是虽然看起来很不规则，但把局部的结构放大后，与整体的形状非常相似，这就是大自然复杂背后的简单法则。

面对这种情况，早在19世纪的时候，分形的思想就已经有了一些萌芽，但是没有人去专门研究具体的图形问题，因为根本无从下手呀，只能感悟到一种自然之美，数学家们却无法把这个问题归入当时的现有数学模型当中，更没有现成的公式来描述这种不停下崽般的变化。

而且这对于那些始终坚信“数学可以解释宇宙万物”的数学家们来说，分形的思想简直就是一场噩梦，这与当年毕达哥拉斯学派处境差不多，狠不得把发现无理数根号2的西帕索斯扔大海喂鱼吃，所以，为了维护欧式几何的完美性，数学家拒绝承认分形的思想，认为分形是自然界的“怪物”。

这种情况一直持续到了大神【曼德布罗特】的出现，地球人，你们是吐样，吐三炮了，其实，并不是宇宙不完美，只是已有的数学工具不够完美罢了，【曼德布罗特】敏锐的看到了分形与大自然的密切联系，用分形的思想来描述自然界中的形态分布，只能用三个字来形容，妥妥地。所以，后来，也有人把分形称为是自然界的几何。而且，分形描述的不仅仅是静态分布，还能反映了一个动态的渐变过程。，比如说河流的形成，山脉的形成，这都是经过亿万年的地壳变动、侵蚀等过程形成的，树根向地下不断的生长，也有着分形的美感。这也是分形如此迷人的重要原因所在。

现在，分形已不在再局限于数学圈和自然界，在创立后不久就成为了“热门”，似乎每个领域都能和分形扯上关系，在天文、地理、物理、化学、生物、医学、音乐、图像压缩、材料乃至语言学、经济学等多个领域中，都得到了十分广泛的应用，特别是最近这几十年，随着计算机的高速发展，再加上编程技术的完善，分形学更是大有进步。

目前，分形作为混沌学的一个重要分支，同样有着混沌的特性，在数学上，分形一个重要的特点就是由自相似性来迭代生成，所以，不同的初始值通过不断的迭代之后，就会产生巨大的差异，混沌的初始值敏感性也就可见一斑了，有这方面专业知识的朋友，可以自己用相关软件绘制分形图形，通过细微地改变输入参数，就能得到完全不同的炫酷图像，也可以更深刻地体验到了分形的魅力。

     说了半天【曼德布罗特】，简单介绍一下这位分形之父的生平。他是出生于1924年，卒于2010年，他这个人很有意思，他的一生和他研究的主题差不多，都挺曲折的，性格和爱好也都挺古怪的，身世也复杂，他是出生在波兰华沙一个来自立陶宛的犹太家庭，后来拥有法国和美国的双重国籍，他的家庭背景学术传统非常的深厚，他在一次采访中，他说自己夫妇这两个家族教授特别多，涉及的学科也非常广，这大家子人足以支撑一所不错的大学了。是不是吹牛逼，咱就不知道了，但是我查资料显示，他爸是卖布头的。

回顾他的一生，他是一位非常另类的科学家，虽然他的一生中，要属分形学贡献最大，但是在很多内部人士的眼中，并不把他当做是一名数学家，而他前半生的学术生涯也是非常的坎坷，涉猎的领域也是太过广泛了，还经常是在各个国家，不同的大学间游走，打一枪换一个地方，也没有几个学术上的真正朋友，他研究的方向也比较冷门，想发表论文也费劲，他还个有爱好，就是喜欢看一些非常古老破旧的文献。他这一生涉及的范围非常广泛，数学，几何学就不用说了，还有航空学，热力统计学，甚至还有信息论、经济学、金融学、语言学、生理学，城市与人口学、哲学，艺术，全都门清，最后是在IBM研究院干了30多年，中间还当过一段生物学老师。

这就颇有亚里士多德、达芬奇等这些全能大神的遗风了，就是不受学科的限制，啥玩意都想研究研究，鼓捣鼓捣，达到融会贯通的境界。

但，就是这样一位超越时代的大神，居然在很长一段时间内都被视为科学界的异类，并没有受到人们足够的重视，【曼德布罗特】自己也挺上火，自己也整不明白自己研究这玩意到底是啥，应该算哪一门，哪一派呢，姥姥不疼舅舅不爱，最后没办法，去他妈的，老子创业吧，自己创立一个全新门派吧。所以在1975年，他就整出了分形学，而就连分形这个词，都是它创造出来的。当然，我说的是英文，fractal，要这说事还挺有意思，在此之前，他一直在研究关于雪花曲线，海岸线长度这类自相似图形，曲线长度的问题，但是没办法把它们进行现有学科上的归类，他就想给自己新创立这个学科起个名，叫啥好呢，就像给自己家小孩起名一样，男楚辞，女诗经，最后他是翻开一本拉丁文字典，突然他想到了一个拉丁文单词fractus，就是英文的fraction（“碎片”、“分数”）和fragment（“碎片”）这个单词的词根，一看这个挺形象生动呀，自己研究的这东西不就是碎片吗，一小块一小块的。所以，【曼德布罗特】把这个词稍加改变，就变成了现在的fractal。同年，他的著作《分形：形状、机遇和维数》以法文版就出版了。此后，他又出版了一系列奠定分形学说的著作，终成一代分形之父。马上各种头衔荣誉就是纷至沓来。

【曼德布罗特】曾说过，柏拉图称人类的感知包括轻重、大小、冷热、颜色、音调和粗糙度，除了粗糙度之外，对其他各种感知的研究都曾经掀开过物理学的新篇章，而分形恰恰补上了粗糙度这缺失的一环。古人诚不欺我。

  其实【曼德布罗特】关于英国海面线长度的问题，并非完全是他的原创，最初，他是在英国数学家【理查逊】的遗稿中发现了一篇鲜为人知的，极为晦涩难懂的论文，但是，【理查逊】还没有对这个问题进行深入的研究，就离开了人世，他的这些论文也就静静的躺在了昏暗的角落，直到【曼德布罗特】独具慧眼，擦去岁月的灰尘，将它们重新翻开，并赋予了全新的生命。

这也成为了曼德尔布罗特思想重要的转折点，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支，分形几何学跻身于现代数学之林．

分数维度

既然提到了分形，就不得不说一个分数维度的概念，这玩意很难说清楚，特别是咱们这是一档音频节目，没法直观形象的作图，而且，最主要的原因是，本身我也不会，但是不会我也得编下去，不能退，这就像你到了四川，爱不爱吃辣的也得吃一回火锅，到了泰国，不管你喜不喜欢都得看看人妖。

我们都知道维度，一维就是一根线，二维就是一个面，三维就是我们生活的这个空间，至于更高的维度，五六七八九维，虽然不能真正的理解，但是，起码还都是一个整数的维度，那么，维度能不能是一个分数呢。

【豪斯道夫】回答说，能。

我们感性的体验一下啥叫分数维度。想计算海岸线的长度，直觉告诉我们，这是一根线，所以，这是一维层次上的问题，但是这又不是一个正经的一维问题，因为，每当我们把曲线放大之后，就可以出现更多的细节，他就会变得更长。这和传统的一些几何图形就不一样了，传统的几何图形无论他多么复杂，当我们把他放大到足够大的倍数之后，它总会有一个极限，总能测量出他确切的长度。

感觉海岸线这条曲线就像是一个肿瘤一样，在疯狂的增长着，在拼命地往其它的方向进行了拓展运动，我们又知道，点动成线，线动成面，面动成体，维度的扩增，就是一个低维度形态向其它的维度运动产生的，但是，海岸线似乎在努力增加，不停的放大，想要变成一个面，可又没能成功，结果只是让自己的长度增加了，始终没成产生面积。

从数学家【豪斯道夫】的观点来看，空间是连续变化的，空间的维数也是可以连续变化的,也就是说，他即可以是整数也可以是分数。举个十分不恰当的例子，并不只有鸡和蛋两种状态，有一种东西叫做毛蛋，这就是一种我们不经常看到的，但是实实在在存在的一种中间状态。

怎么才能说明白分数的维度呢。怎么说也说不明白。

可以这样想一下，首先画一个最简单一维的图形，也就是一条线段，然后，根据自相似的要求，把这线条分成2份，就得到了2条与原来相似的，但是短一些线段，如果分成3份，就得了3条与原来相似的，但是更短一些线段，感觉这就是废话，毫无难度，别着急，这个简单的操作过程，蕴含着一个深刻道理，在一维空间内，我们把原图形均匀的分割成多少段，我们就会得到多少个更小的自相似图形。

那再看二维的平面，画一个正方形。也是根据自相似的要求，很容易就想到了，把一个正方形画成一个田字。也就是仍然取原来这个图形一条边的二分之一，就产生了4个小的正方形，这个四是怎么算出来的，你当然可以说是一个一个数出来的了，但是，这是2^2次幂计算出来的结果，前面的这个2指的是均匀的分割成了多少段，指数这个2指的是这个图形所处的维度。

如果把这个大正方形，每条边都均匀的分成3段，这样，就得到了一个九宫格，也就是9个自相似的小正方形，这个9是怎么算的呢，就是3^2次幂，这个3就是分成了3份，指数2还是所处的维度，2维。你要是把边长平均分割成10份，那你就会得到100个小正方形，就是10^2幂，感觉还是废话，没啥复杂的。

再看3维世界，想象有一个立方体，比如一块豆腐，横，纵，平，切三刀，你就得到了八块一样的小块豆腐，用数学语言来说，就是把原来这个立方体每一条边都平均的分成了两份，这样我们就得到了，2^3，8个新的自相似体，如果是，每一条边都平均的分成了三份呢，就可以得到3^3，27个小立方体，这就像是一个魔方一样，如果分成5份，就会得到，5^3个，也就是125个小立方体。

感觉还是废话，没啥难度的。

通过以上这一大堆废话的介绍，我们就可以发现一些规律。无论是在一维，二维，三维，甚至是更高维的空间，产生新的小的自相似图形的数目总是与每个边长平均分成的份数，以及他所处的维度有关。分成的份数越多，所处的维度越高，产生的新的小图形就越多。我们笨理一想，也是这个道理，分割的越多当然产生的小图形越多了，处于越多的维度，自然就可以向更多的方向进行拓展，产生的小图形自然也就越多了。

说到这，还都像人话。

但是，仅仅是感性上的认知还不够，我们还要推导出一个公式，就是产生新的小图形的量，等于分割成份数的维数次幂，如果用公式表达的话，就是  a^D=b，其中a就是分成了多少份，或者说是，某个图形把它的边长变为原来的1/a，D就是它所处的维度，b就是通过分形之后，得到的小图形数目。我们刚刚说的那一些废话都可以用这个公式来表述了。然后，经过对数的转换，D=logb/loga。

就也意味着，我们通过观察分形后的图形，看看他是截取了几分之一段，最后产生了多少个小图形，就能反推出来，他所处的维度了。

当然了，以上这个推导过程，完全是凭我们的经验得到的结果，数学家当然有更严格的证明，但是，咱能把刚才我说的这个事整明白就不错了。

从这个公式就可以看出来，D即可以是整数，也可以是分数。虽然，我们平时都没接触过1.6维，2.8维的东西，但是现在就请大家排除主观上本能的感觉。放飞自己的思想。

我给你说举两个例子，你就明白了。

有一个怪物叫谢尔宾斯基三角形，这个是怎么生成的。

第一步，画一个等边三角形，其它三角形也行，只是等边三角形容易理解一些。

第二步，连接三角形三条边的中点，将原来的三角形，分成四个小的正三角形。

第三步，用剪刀剪掉中间的那一个小三角形，这时候，你就是剩下三个小角形。

第四步，就是对剩下的这三个小角形，重复以上的操作。

这个谢尔宾斯基三角形的维度是多少呢，不妨用D=logb/loga。这个公式算一下。

这个操作的过程，是在原来的一条边上取中点，也就是分成了两段，所以，公式中的a就等于2，再看看新产生了多少个小的自相似图形呢，本来是中点一连线产生了4个，但是把中间的那个给扣掉了，不算了，所以，就是新生成了3个小图形，这里边的b就是3，维度就是log3/log2，用计算器一算，大约就是1.585。

再算一个怪物，门格海绵的维度。这个是咋回事。

第一步，画一个立方体。

第二步，把立方体的每一个面分成9个正方形。也就是把正方体分成27个小正方体，就和魔方一样。

第三步，把每一面的中间的小正方体扣掉，再把最中心的立方体也扣掉，这样就留下20个小正方。这个不好画，但是很容易就可以脑中相像出这个画面。

第四步，就是对每一个留下的小正方体都重复以上的的步骤。最后，得到的这个玩意就是门格海绵。

他的维度怎么算呢。先看看把每一条边上的线段分成了多少段，3段呗。

再看看新产生了多少个小立方体呢。20个呗，因为我们说了，本来是产生了27个，又给扣下去了7个，所以，它的维度就是log20/log3，大约就2.7，

有兴趣的朋友，可以自己算算谢尔宾斯基地毯的维度，它的生产法则是这样的，把一个实心的正方形划分为9个小正方形，然后去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作，其实，也可以看做是门格海绵的一个面。如果算出来了，可以在节目下方留言。

好了，再考虑另外一个问题。当画一根线段的时候，如果用0维的点来测量它，结果就是无穷大，因为线段中包含着无穷多个点，如果用一块平面来测量一根线段，其结果就是0，因为段线中不可能包含着平面。小时候，咱们就学过，单位很重要，单位对应上，才有意义。对于一条线来说，只有用和它处于同维数的更小的线段来度量它才行。

所以，想用一维的尺子来测量雪花曲线，这就是一个不可能完成的任务了，因为，雪花曲线，它的整体是一条无限长的线折叠而成的，他的维度并不是1。你可以这样想象一下，你把耳机线放在口袋里，过了画拿出来，盘在了起，乱七八糟的，可以看做是一条曲线，但是，你心里很清楚，他一定是一条长度固定的线段，无论怎么乱套，只要你有耐心一定可以将他捋直，这就是一条一维的线段。

但是，如果，你的耳机是雪花曲线做的，无论你怎么有耐心也不可能把它完成捋直，因为他有数不完的弯折点，高逼格的说法就是，曲线处处不平滑，不可导。只有找到一个与雪花曲线维数相同的尺子来量它才有意义。

雪花曲线的维度到底怎么算呢。这就是今天最值钱的地方了。

看看雪花曲线是怎么生成的，取其中的一小段放大了仔细看，他每迭代变换一次，生成的新图形，就是把原来的的线段进行了3等分，支出了三角形，抹去了原来中间这段，结果就是变成了4个一样长的小线段，所以这里边的a就是，把原有的线段分成了3份，也就是3，b是新产生的4个一样长的小线段，就是4。最后经过计算，雪花曲线的维数就是log4/log3，约等于1.2618。这就是雪花曲线的维度了。

今天的节目就是这样了。

万物皆数，自然便是几何，这想这句话仍然没有过时，只是这里说的数与几何显然要比它的原始意义涵盖的更加广泛，从海岸线问题发现自相似性，然后，又利用分数维度去定义由海岸线的曲线，进一步产生分形这一全新的研究领域，这段数学中奇幻的故事让我们深深的感受到了数学的魅力，数学一直都凭借其简洁优美的方式描述着这个神秘的世界，只是，很多时候，我们并没有发现他的美。