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在人们的意识中海岸线总存在一个长度,例如说某国家的海岸线有多长等. 1967年, 曼德布罗特在美国《科学》杂志上发表了题为"英国的海岸线有多长?"的论文. 他认证说,任何海岸线在一定意义上都是无限长的,而在另一种意义上, 结果依赖于测量海岸线所用的尺子的长度.他对海岸线的本质所作的独特分析震惊学术界,分形（fractal）一词最初就是出现在这篇文章中.对于“大不列颠的海岸线有多长”这一问题的深入思考和分析实际上是曼德布罗特思想的转折点, 下面我们介绍海岸线长度问题.
首先我们从圆周长的测量谈起，按图3―1(a)所示,用多边形的周长去近似圆的周长,不难看出它是一个逼近过程,这个过程满足下面两点:
- 测量值依赖多边形的边长，边长越小，测量值越大.
- 用多边形的边去近似其所对应的圆弧,当边长越来越小时,近似效果越来越好,因而在极限情况时,多边形的周长就是圆的周长.
如果用类似的方法考虑图3―1(b)(英国海岸线缩影图), 设想有人用一定的步长绕海岸线走一圈,上面的第①点是满足的, 但第②点就不一样了. 从图3―1(b)可看出, 当用较大的步子时,每一步与对应的海岸线差异是明显的.但组成海岸线的沙滩、石块、海湾、断层、峡谷、江河出口、……等使得海岸线的结构十分复杂, 而在测量时尺子总有一个确定的长度(标度), 无论长度多么小, 总要忽略一些更小的精细结构.亦即对无论多么小的标度, 标度与对应的海岸线总有明显差异, 因为随着标度变小, 海湾与半岛将显露出越来越小的子海湾与子半岛. 用曼德布罗特的话说, 任何小尺度上的复杂程度与大尺度上的复杂程度有相似性. 因而, 当选定一标度对海岸线进行测量时, 你会得到一确定值，尺子长度越小，测得的值越大，在这种意义上海岸线长度依赖尺子的标度. 当标度趋于零时, 长度并不趋于一固定值，而是趋于无穷大，在这种意义上海岸线是无穷长的. 描述光滑曲线长度的数学模型无法用来描述英国海岸线，而数学家科赫(Koch Helge.Von)早在1904年构造的“妖魔”曲线却能恰如其分地描述海岸线.
对海岸线的测量结果如何合理地给出解释呢？
我们知道, 用一维“尺”去测量点, 点的长度为0, 用二维的面积去测量一维的线段, 线段的面积为0，用三维的体积去测量二维的区域, 区域体积为0. 反之，用点去测量线段, 用一维“尺”去测量二维区域，用二维面积去测量立体，其“度量”为∞,即对任何一个有确定维数的几何体,,若用与它维数相应的“尺”去量度, 可得一确定值, 若用低于维数的“尺”去量它,结果为无穷大, 若用高于它的维数的“尺”去量它，其结果为0. 如果把海岸线看成维数大于1的曲线,用小于它维数的一维欧氏“尺”去量度,长度为无穷大就一点也不奇怪了，这就要求我们对传统维数进行推广，下面我们来看看图形的维数问题.
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