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曼德尔布罗特的分形学特别关注那些非主流的思想

人们在学习了解分形学的时候，常常会问，分形几何与欧几里得的几何有哪些本质的差别呢，这种差别是如何产生的呢？是客观存在，还是人为的划分的。

分形与欧氏几何的区别 

1、欧氏几何是规则的，而分形几何是不规则的。也就是说，欧氏几何一般是逐段光滑的，而分形几何往往在任何区间内都不具有光滑性。

2、欧氏图形层次是有限的，而分形从数学角度讲是层次无限的。

3、欧氏图形不会从局部得到整体的信息，而分形图形强调这种关系。

4、欧氏图形越复杂，背后规则必定很复杂。而分形图形看上去很复杂，但是背后的规则往往很简单。

5、欧氏几何学描述的对象是人类创造的简单的标准物体。而分形几何学描述的对象是大自然创造的复杂是真实物。

6、欧氏几何学有特征长度，而分形几何学无特征长度。

7、欧氏几何学有明确的数学表达方式，而分形几何学用迭代语言表达。

8、欧氏几何学的维数是0及整数（1或2或3），而分形几何学一般是分数也可以是正整数。

曼德尔布罗特在创建他的分形理论时，特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的””、“反直觉的”的东西 。医生和律师用各种“‘病例集”和“案例集”来称呼有一个共同题目的实际病例和案例。而科学上尚无相应的专门名词，因此曼德尔布罗特建议也应用“范例集”这个名词。重要的范例需倍加注意，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。因此诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、外尔斯特拉斯不可微曲线、可充满正方形区域的皮亚诺曲线、谢尔宾斯基地毯与海绵、柯赫雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而这些一直被正统科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶尔提到。

在分形如此流行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”(芒氏视其为“宝贝”)的具体性质，从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。

　　曼德尔布罗特与世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类型；别人视为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使曼德尔布罗特获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。

　　在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为 一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得(几何)──本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边， 被认为是‘无形状可言的’形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然提出的问题 。”

曼德尔布罗特认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚产的新领域 ，这个危机从雷蒙德1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微函数就已开始了。这次危机大约延续到1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和豪斯多夫。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 。他们及其几代后继者都不知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然的世界。

海岸线：最容易说明的分形

　　巴塞罗斯采访曼德尔布罗特时问他：“分形实例中你最喜欢哪 一个?”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。随即他又补充说还有“血管分形结构”以及“自平方龙”(复迭代中的一个例子)等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子都为这个分形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”　　

曼德尔布罗特认为海岸线的例子是最容易说清楚的分形思想的例子，他在他的演讲和两部专著中也都是把海岸线问题放在最前面讲述的。  1967年美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线有多长？统计自相似与分数维》，提出了分数维的概念，说明海岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度。因此可以说海岸线有任意长度、无穷长度（当然从物理上看，无标度区间总有一个下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了）。这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它 显得有点不“客观”，而分维D则是一个很好的特征量。

实际上关于海岸线长度测量的悖论，在曼德尔布罗特之前就有英国著名气象学家里查逊、波兰著名数学家斯坦因豪斯和法国著名实验物理学家、诺贝尔奖获得者佩兰等人都有过精彩的论述。曼德尔布罗特比较关注的是前两人的观点，他是后来才发现佩兰的论述的，在1977年、1982年的专著中他大段引述了佩兰的思想观点。曼德尔布罗特用柯赫曲线来说明海岸线问题。

曼德尔布罗特用此例子来说明在自然界中，有许多用传统欧氏几何学不能描述的这样一些复杂的，表面上看是无规律的几何对象，例如：蜿蜒曲折的海岸线，起伏不定的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云。它们有一个共同的的特点就是：极不规则或极不光滑。 曼德尔布罗特很早就在考虑如何用几何来描述它？

如何用几何来描述它？
    曼德尔布罗特注意到英国海岸线与柯赫（Van Koch）曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科——分形学，并列举了可以作为分形对象的一些基本特征。

分形的特性

1、具有无限精细的结构；

2、局部与整体的相似性；

3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数；

4、具有随机性；

5、在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。 

曼德尔布罗特将看起来毫无头绪的“杂多”的思想与观点综合在一起，建立起能够描述大自然现象的分形科学。同时由于分形学是从现实世界中来的，它能够反映现实世界的真实状态，因此是渊源流长的，是有生命力的。