2015高考数学全国2卷

2015高考数学全国2卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合 , ,则

    A、          B、           C、          D、

2、若 为实数，且 ，则

A、-1             B、0             C、1                D、2

3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下

   结论中不正确的是

   

   A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显

   B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

   C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

   D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4、已知等比数列 满足 ， ，则

   A、21              B、42             C、63              D、84

5、设函数  , ,则

   A、3               B、6              C、9               D、12

6、 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图

   如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为

   A、               B、

   C、               D、

7、过三点 ， ， 的圆与 轴交于 、 两点，则

   A、            B、               C、            D、

8、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，

   执行该程序框图，若输入的 ， 分别为14,18，则输出的

   A、0               B、2               C、4              D、14

9、已知 ， 是球 的球面上两点， ， 为该球面上的动点。若三菱锥

   体积的最大值为36，则求 的表面积为

   A、             B、            C、           D、

10、如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点。点 沿着 ，

    与 运动，记 ，将点 到 ， 两点的距离之和表示为 的函数 ,

则 的图像大致为

                                         

            

     A、                                    B、

              

     C、                                     D、

 

11、已知 、 为双曲线 的左右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为

    ，则 的离心率为

A、               B、2             C、            D、

12、设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，

    ，则使得 成立的 的取值范围是

A、                      B、

C、                     D、

 

第二卷

二、填空题：

13、设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________。

14、若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_________。

15、 的展开式中 奇数次幂项的系数之和为32，则 _______。

16、设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ________。

三、解答题

17、（本小题12分）

  在 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的2倍。

   （1）求 ；

   （2）若 ， ，求 和 的长。

 

 

 

 

18、（本小题12分）

        某公司为了解用户对其产品的满意度，从 、 两地区分别随机调查了20个用户，

得到用户对产品的满意度评分如下：

  地区：62   73   81   92   95   85   74   64   53   76

          78   86   95   66   97   78   88   82   76   89

  地区：73   83   62   51   91   46   53   73   64   82

          93   48   65   81   74   56   54   76   65   79

（1）根据数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度

         评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

         记事件 ：“ 地区用户的满意度等级高于 地区用户的满意度等级”，假

     设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应

     事件发生的概率，求 的概率。

19、（本小题12分）

          如图，长方体 中， ， ，点 、 分别在

      、 上，且 。过点 、 的平面 与此长方体的面相交，

      交线围成一个正方形。

                                                               （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

  （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。

20、（本小题12分）

        已知椭圆 ： ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与

    有两个交点 和 ，线段 的中点为 。

（1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；

（2）若 过点 ,延长线段 与 相交于点 ，四边形 能否为平行四

     边形？若能，求出此时 的斜率，若不能，说明理由。

21、（本小题12分）

      设函数 。

     （1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；

     （2）若对于任意 ， ,都有 ，求 的取值范围。

        选做题，请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分，做答时请写清题号。

22、（本小题10分）几何证明选讲

        如图， 为等腰三角形 内一点， 与 的底边 交于 、 两

点，与底边上的高 交于点 ，且与 、 分别相切于 、 两点。

（1）证明： ；

（2）若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积。

                                                       

23、（本小题10分）极坐标与参数方程

        在直角坐标系 中，曲线 ： ,（ 为参数， ）其中 ，

在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ，

： 。（1）求 与 交点的直角坐标；

（1）若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值。

24、（本小题10分）不等式选讲

      设 、 、 、 均为正数，且 ,证明：

     （1）若 ，则 ；

     （2） 是 的充要条件