【原】高考文科数学真题会不会简单一点呢？看看就知道了

这是2022年高考数学全国文科甲卷一道与函数的切线有关的真题。一般认为高考文科数学要比理科简单得多，但老黄觉得，这道题的第二小题一点也不简单哦。

已知函数f(x)=x^3-x, g(x)=x^2+a, 曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线：

(1)若x1=-1, 求a; (2)求a的取值范围.

请自己动手先解一解。

解：f’(x)=3x^2-1, g’(x)=2x.【先分别求两个函数的导数，因为两个小题都要用到它们的导数】

(1)f’(-1)=2, 当g’(x)=2x=2时, x=1.【第一小题当然是送分题。由f的导数求得切线的斜率等于2，又由切线的斜率求得函数g的切点在x=1. 不知道有没有人像老黄一样，一上来就以为两个切点的横坐标相同呢！如果有，那咱可真算得上是傻兄憨弟了哦。】

f(-1)=0, g(1)=1+a, 当(1+a)/2=2时, 解得a=3.【求两个切点的纵坐标，因为它们在同一直线上，所以纵坐标差除以横坐标差等于斜率2，解得a=3。】

第一小题是引路明灯，它告诉了我们第二小题的解法思路。一是它们的斜率相同，二是可以利用两个切点的坐标列斜率公式，因为它们在同一直线上。这能成吗？试试就知道了。

(2)设g(x)的切点为(x2,g(x2)),

由f’(x1)=g’(x2), 有3x1^2-1=2x2,【即两者的切线斜率相同，是两条切线是同一直线的必要条件】

又(x1^3-x1-x2^2-a)/(x1-x2 )=2x2,【等式左边运用的是两点(x1,f(x1)),(x2,g(x2))的斜率公式，因为它们在同一条切线上，这也是必要条件，和上面的必要条件构成充分条件】

化简得：a= (9x1^4-8x1^3-6x1^2+1)/4,【转化成a关于x1的函数问题，这种思维转换，是很值得推荐的。这一步也是本题的难点，想不到这一步，就很难解决这道题。它是一个四次函数，因为四次项系数大于0，所以这个函数没有上界，从而可知，a没有最大值，取值可以到正无穷大】

a’=9x1^3-6x1^2-3x1=3x1(3x1+1)(x1-1)),【对a求导，以得到a的极值，通过比较极值就可以得到a的最小值】

a有稳定点x1=-1/3, x1=0或x1=1.【稳点定包含极值点和拐点，不需要去分辨它们，直接求它们的函数值比较大小就可以了】

a(-1/3)=5/27, a(0)=1/4, a(1)=-1.【很明显,a=-1最小】

由函数a的性态可知, a≥-1. 【函数a的性态，就是四次函数的形状和性质】

你觉得这道题容不容易呢？如果你看完分析，肯定会觉得很简单的。关键是你自己的解法，简便吗？