数学破题36计第2计 西瓜开门 滚到成功

●计名释义

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

 

●典例示范

［题1］ （2006年赣卷第5题）

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f ￠（x）30，则必有

A.  f（0）＋f（2）< 2f（1）           B.  f（0）＋f（2）≤2 f（1）

C.  f（0）＋f（2）≥ 2f（1）           D.  f（0）＋f（2）>2f（1）

 

［分析］　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；

其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

 

［解一］ （i）若f＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.

（ii）若f＇(x)不恒为0时. 则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x ≤1. 即f（x）在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.

综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

 

［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x) ≡ 0.

 

［再析］ 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.　因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

 

［解二］ （i）若f＇(x)=0，可设f（x）=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件.

（ii）f＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2      又　f＇(x)=2（x-1）.

满足　(x-1) f＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对  f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0

选项C，D符合条件. 综合（i），（ii）答案为C.

 

［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.

 

［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f ￠（x）= 0找最值点x =0，由f ￠（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

 

［解三］ （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）

（ii）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f ￠（x）≥0

若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f ￠（x）≥0.

 

［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f ￠（x）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

 

［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ￠（x）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是

A. f（x）= (x-1)3  B. f（x）= (x-1)   C. f（x）= (x-1)  D. f（x）= (x-1)

 

［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；

         对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；

答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.

且f ￠（x）=(x-1)    使得  (x-1) f＇(x) =(x-1)(x-1) ≥0.

［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f￠（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且n≥m.

 

［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

 

［题2］ 已知实数x，y满足等式  ，试求分式的最值。

［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.

［解一］ （函数方程思想运用）

令 y = k (x-5) 与方程联立

消y，得：

根据x的范围应用根的分布得不等式组：

解得     即 ≤≤  即所求的最小值为，最大值为.

 

［插语］ 解出≤≤，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

［解二］ （数形结合思想运用）

由得椭圆方程 ，

0

看成是过椭圆上的点（x，y），(5，0)的直

线斜率（图右）.

联立       得 

令得，故 的最小值为，最大值为.

［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

 

［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.

●对应训练

1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的                  (  )

 

 

 

 

2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 (  )

A.y=-(0<x≤1)           B.y= (0<x≤1)

C. y=- (-1≤x<0)         D. y= (-1≤x<0)

3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是      (  )

A.b2≤ac            B.b2>ac        C.b2>ac且a>0      D.b2>ac且a<0



●参考答案

1.【思考】  利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．

【点评】  上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).

2.【思考】  分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.

原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.

∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．

3.解析一   分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.

取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.

解析二  由选择支,联想到二次函数的判别式.

令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.

【点评】   在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:

4b<4a+c,          ①

2b<-a-c,           ②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.