数学破题36计第20计 讨论开门 防漏防重

第20计  讨论开门  防漏防重

●计名释义

为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.

分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:

①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.

分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.

●典例示范

【例1】   已知a∈R，函数f (x)=x²|x-a|.

(1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合；（2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值.

【分析】   (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.

【解答】   (1)当a=2时，f (x)=x²|x-2|=

当f (x)=x时，即x²(x-2)=x   (x≥2)或x²(2-x)=x   (x<2)x³-2x²-x=0，x(x²-2x-1)=0,

x₁=0(舍去），x₂=1-(舍去），x₃=1+.

当x²(2-x)=x时，∴x³-2x²+x=0，x(x²-2x+1)=0，x=0或x=1.

综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+}.

(2)f (x)=        若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x³-ax².

∴f ′(x)=3x²-2ax=0，∴x₁=0，x₂=a              ∵1≤x≤2，∴a<x，0<x.

∴x=0或x=a都不在［1，2］内，而x∈［1，2］，

f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数.        ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a.   ∴f (x)_min=1-a.

若a∈(1，2)，即f (x)=

当1≤x≤a时，f (x)=-3x²+2ax=0，x₁=0，x₂=a.

若a<时，1≤x<a，f ′(x)<0.         ∴f ′(x)=-x³+ax²在［1，a］为减函数，

∴f (x)_min=-a³+a³=0.

当a≤x≤2时，f ′(x)=3x²-2ax=0，x₁=0，x₂=a.    当x∈［a，2］，f ′(x)>0.

∴f (x)在［a，2］上为增函数.              ∴f (x)_min=0.

当a>2时，x∈［1，2］.                 f (x)=x²(a-x)= ax²-x³.

∴f ′(x)=2ax-3x²=0.             ∴x₁=0，x₂=a

若<a≤2，f (x)在［1，a］上为增函数.    f (1)=a-1，f (a)=a³-a³=a³.

f (x)在［a，2］为减函数，f (2)=4a-8.

∴f (x)_min为a-1，4a-8中的较小数.              即2<a<时，f (x)_min= 4a-8

≤a≤3，f (x)_min=a-1       a>3时，x∈［1，2］时，f ′(x)>0∴f (x)_min=f (1)=a-1.

综上所述，a≤1时，f (x)_min=1-a,

a∈(1，2)时，f(x)_min=0,        a∈(2，)时，f (x)_min= 4a-8;

a∈［，3］时，f (x)_min=a-1;           a∈(3，+∞)时，f （x）_min=a-1.

【点评】   本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.

【例2】   设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x³++5，h(x)=(3a+3)x²-12a(1-a)x+.

(1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x);

(2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间.

【解答】（1）g′(x)=               =

=.

(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x³-(3a+3)x²+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x²-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a.

①当0<a<时，0<2a<1-a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递增，在［2a，1-a］上单调递减，在［1-a，6］上单调递增；

②当≤a<1时，0<1-a≤2a<6，于是函数f (x)在［0，1-a］上单调递增，在［1-a，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；

③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；

④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减.

【点评】   本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.

●对应训练

1.若集合A₁，A₂满足A₁∪A₂=A，则称(A₁，A₂)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A₁=A₂时，(A₁，A₂)与(A₂，A₁)为集合A的同一种分拆，则集合A={a₁，a₂，a₃}的不同分拆种数是

A27              B26                C9                 D8

2.若数列{a_n}的通项公式为a_n=，n∈N⁺，则等于                                             （      ）

A            B            C            D

3. 如图，已知一条线段AB，

它的两个端点分别在直

二面角α-l-β的两个面内转动，

若AB和平面α、β所成的角分别

为θ₁、θ₂，试讨论θ₁+θ₂的范围.

                                                        第3题图

●参考答案

1.A   由于A={a₁，a₂，a₃}=A₁∪A₂，以A₁为标准分类.

A₁是，则A₂={a₁，a₂，a₃}，这种分拆仅一种，即C·C=1;

如A₁为单元素集，有C种可能,对其中每一种，例如A₁={a₁}，由于必有a₁，a₃∈A₂，且a₁∈A₂或a₁A₂都符合条件.  这种分拆有C·C=6种.

如A₁为双元素集，有C种可能,对其中每一种，不妨设A₁={a₁，a₂}，则必a₃∈A₂，此外对a₁，a₂可以不选，选1个或全选，有2²=4种选法，这种分拆共有C·4=12种.

若A₁为三元素集，则A₂可以是{a₁，a₂，a₃}的任何一个子集，故这种分拆有2³种.  于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.

2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.

解析：根据题意，得a_n=

∴{a_2n-1}是首项为，公比为的等比数列，{a_2n}是首项为，公比为的等比数列.

∴

=                     故选C.

点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：

（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；

（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；

（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；

（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.

3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论.

解：（1）当AB⊥l时，显然θ₁+θ₂=90°.

（2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC.

∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β.   ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ₂.

在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD.         同理可得∠BAD=θ₁.

在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD<BC，∴，即sinθ₁<sin∠BAC.

∵θ₁与∠BAC均为锐角，∴θ₁<∠BAC.  而∠BAC+θ₂=90°，∴0°<θ₁+θ₂<90°.

（3）若线段AB在直线l上，则θ₁+θ₂=0°.  综上，可得0°≤θ₁+θ₂≤90°.

点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.