第23计 探索开门 智勇双锋 ●计名释义 所谓创新题,就是这之前没有做过,没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目,它的答案(是否存在),它的解法(暂时不知),需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”. “石头”,指我们已有的知识和方法,这当然是很重要的.若要“过河”,仅有这些还不够. 过河人还需要两大素质:大智大勇! 面对着数学上的探索问题,智、勇体现在哪里?勇——大胆地猜;智——小心地证.●典例示范 【例1】 如图所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1,D的中点,N是BC中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只要满足 条件 时,就有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况). 【思考】 显然HN∥BD,即得HN∥平面B1BDD1,为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M,只需过HN作平面,使之平行于平面B1BDD1,将线面平行的问题转化为面面平行的问题. 【解答】 连FH,当点M在HF上运动时,恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明如下:连NH,HF,BD,B1D1,且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD,HF∥BB1,故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF,∴MN∥平面B1BDD1. 【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数,且对于任何x∈R,f (2-x)= f (2+x)总成立,问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时,才能使-2<x<0成立. 【思考】 根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数,然后可通过函数单调区间进行分类讨论. 【解答】 由题设知:函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线. 故函数f (x)在(-∞,2]上是增函数;在[2,+∞)上是减函数. ∵1-2x2≤1<2,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2],1+2x-x2∈(-∞,2] 当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时, 1-2x2<1+2x-x2 即x2+2x>0,解得x<-2或x>0,不能使-2<x<0成立 当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,1-2x2>1+2x-x2, 即x2+2x<0,解得-2<x<0,符合题意, 当f (1-2x2)=f (1+2x-x2)时, 可得x= -2或0,不能使-2<x<0成立. ∴当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,才能使-2<x<0成立. 【例3】 能否构造一个等比数列{an},使其同时满足三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一个自然数m,使am-1,a,am+1+依次成等差数列.若能,请写出这个数列的通项公式. 【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q. ∵a3a4=a1a6, ∴由 即满足条件①,②的等比数列,其通项公式为an=·2n-1或an=·n-1. (1)如an=·2n-1,设存在题设要求的m∈N,则2×= 化简得:22m-7·2m-8=02m=8,∴m=3. (2)如an=·n-1,设存在m∈N,使2· 化简得:4(26-m)2-11·26-m-8=0,这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在. 综上所述,能构造出满足条件①,②,③的等比数列,该自然数m=3,数列的通项公式为: an=·2n-1. 【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b. (1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). (2)观察后请写出这个对应法则. (3)可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质:当g(x)>0时,对应的f (x)的性质有哪些?(4)你还能研究另外的某些性质吗? (5)设g(x)=x,写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式. 【思考】 本例是结论开放型试题,解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整. f (x)与g(x)是什么关系?我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见,只有当 g(x)= f′(x)时,才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质. 【解答】 (1)∵a=1,b=2,∴g (x)=2x+2. (2)①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积; ②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数. (3)g(x)>0,即2ax+b>0,当a>0时,x>,而x=是f (x)的对称轴,故这时f (x)是单调增函数;a<0时,x<,f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为). (4)当g(x)<0时,f (x)是单调减函数(请仿照(3)证明之). (5)g(x)=x时,2ax+b=x,知a=,b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中,命a=,b=0,c取任意值即可,如f (x)=x2+1,f (x)=x2+,f (x)=x2+5. 【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件,即若AB,则称A为B的充分条件,B为A的必要条件. ●对应训练 1.已知圆O′过定点A(0,P)(P>0),圆心O′在抛物线x2=2py上运动,MN为圆O′在x轴上截得的弦,令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ. (1)当O′运动时,|MN|是否有变化,并证明你的结论; (2)求的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示,已知在矩形ABCD中, AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC, 且PA=1. (1)问BC边上是否存在Q, 便得PQ⊥QD,并说明理由; (2)若BC边上有且只有一点Q, 使得PQ⊥QD,求这时二面角 Q—PD—A的大小. 第2题图 3.已知椭圆(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点距离为. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,试判断:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过点E?若存在,求出这个值.若不存在,说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件: ①原点O与直线x=1是它的焦点和准线; ②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. ●参考答案 1.(1)如图所示,设抛物线上一点O′(x0,), 连结O′A,O′M. 作O′C⊥MN于C, 则|MN|=2|MC|, ∵|O′M|=|O′A|= ∴|MC|= 第1题解图 ∴|MN|=2p为定值. 即当O′运动时,|MN|不会有变化,总有|MN|=2p. (2)如图所示,有M(x0-p,0),N(x0+p,0) ∴d1= d2= ∴d+d=4p2+2x,d1d2= ∴= =4 当且仅当x=2p2,即x0=±p,y0=p时等式成立,此时|O′M′|=|O′N′|=p. ∴∠MO′N=90°, ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°. 2.【思考】 这是一道探索性问题,解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD,∵PA⊥面ABCD,只需满足AQ⊥QD即可,再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件,从而使问题得到解决. 【解答】 (1)连结AQ,∵PA⊥面ABCD. ∴要使PQ⊥QD,只要AQ⊥QD,即以AD为直径的圆与BC有公共点. 这就是说,当AD≥2AB,即a≥2,在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD. (2)∵当a>2时,以AD为直径的圆与BC有两个交点. 当a=2时,只有BC的中点满足条件. ∴AD=2,Q为BC的中点,取AD的中点M,连结QM. ∵面PAD⊥面ABCD,QM⊥AD,∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N,连结NQ. 根据三垂线定理有,QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角. 在Rt△QMN中,QM=1,MN=MD·sin∠MDN=1×. ∴tan∠MNQ=. ∴二面角Q—PD—A为arctan. 3.【思考】 第一问从离心率的定义入手,很容易求得a、b的值,从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在,可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题,若求出符合条件的k值则存在,反之,则不存在. 【解答】 (Ⅰ)e=,∴,∴a2=3b2,即a=b. 过A(0,-b),B (a,0)的直线为. 把a=b代入,即x-y-b=0, 又由已知,解得b=1,∴a=. (Ⅱ)设C(x1,y1),D(x2,y2). 由消去y, 得(1+3k2)x2+12kx+9=0. 必须 1+3k2≠0且Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ① 要存在k满足①且使, 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ② ∵y1=kx1+2,y2=kx2+2 ∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③ ∵x1+x2=,代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0. ∴k=满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点,这个值是. 4.设存在这样的双曲线,其离心率为,则根据双曲线定义得:. 化简为:(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0 将弦所在直线y=x+b代入得:(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0 设弦AB的两端点A(x1,y1)B (x2,y2),AB中点M(x0,y0)则 x1+x2=,x1x2=,x0= 即y0=x0+b=+b,代入x+y=0,得b=-2. 从而x1+x2=2,x1·x2=弦长|AB|= 解得e=2符合题意, 所以存在双曲线方程:3x2-y2-8x+4=0,经检验它是满足题意的双曲线.
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