2014届高考数学（理）一轮复习热点针对训练：第10讲《函数的值域与最值》《空间中的垂直关系》Wo

 

1.若函数f(x)＝log_a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值等于( D )

A.  B.

C.  D．2

解析：因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，

又f(x)是单调函数，f(0)＝log_a1＝0，

所以f(1)＝log_a2＝1，所以a＝2.

2.函数f(x)＝(x>0)的值域为( C )

A．(0，＋∞)  B．(0，)

C．(0，]  D．[，＋∞)

解析：因为f(x)＝>0，

而当x>0时，x＋≥2，x＋＋1≥3，

所以0<≤，故函数的值域为(0，]，选C.

3.(2012·山东省枣庄市上学期期末)函数y＝的值域是( C )

A．[0，＋∞)  B．[0,2]

C．[0,2)  D．(0,2)

解析：因为2^x＞0，所以4－2^x＜4，所以0≤<2，即值域为[0,2)．

4.已知函数f(x)＝(2a－1)^x＋log_(2a－1)(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为2a－1，则a的值为( B )

A．1  B.

C.  D.

解析：无论2a－1＞1还是0＜2a－1＜1，函数最大值与最小值均在0或1取得，故(2a－1)⁰＋log_(2a－1)1＋(2a－1)¹＋log_(2a－1)2＝2a－1，即log_(2a－1)2＝－1，所以2a－1＝，即a＝.

5.函数y＝x＋的最小值为 1 .

解析：函数的定义域为[1，＋∞)，而它在定义域上递增，所以y的最小值是1.

6.(2012·北京市西城区丰台区一模)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的值域为 [－，3] .

解析：当1≤x≤9时，函数f(x)＝x是增函数，所以1≤f(x)≤3；当－2≤x＜1时，f(x)＝x²＋x＝(x＋)²－，所以f(－)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为[－，3]．

7.若实数x、y满足x²＋4y²＝4x，则S＝x²＋y²的取值范围是 [0,16] .

解析：(方法一)S＝x²＋y²＝x²＋

＝x²＋x＝(x＋)²－.

又因为4y²＝4x－x²≥0，所以0≤x≤4，所以0≤S≤16.

 

 

(方法二)注意到x²＋4y²＝4x表示的是一个椭圆，中心是(2,0)，长半轴长是2，且过原点；x²＋y²表示的是椭圆上的点到原点的距离的平方，如右图． 易知0≤S≤16.

8.若函数f(x)＝(x－1)²＋a的定义域和值域都是[1，b](b＞1)，求a、b的值．

解析：因为函数f(x)在[1，b]上单调递增，

所以y_min＝a，y_max＝(b－1)²＋a，

即函数的值域为[a，(b－1)²＋a]．

又已知函数的值域为[1，b]，

故，解得(舍去)或.

所以，所求a的值为1，b的值为3.

9.已知函数y＝的定义域为R.当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．

解析：由题意知mx²－6mx＋m＋8≥0对x∈R恒成立，

所以m＝0或，所以m∈[0,1]．

(1)当m＝0时，y＝2，所以f(m)＝2.①

(2)当0<m≤1时，y＝.

所以y_min＝，即f(m)＝.

所以0≤f(m)<2.②

由①②可知，0≤f(m)≤2.

所以f(m)的值域为[0,2]．

 

1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；  ②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；

③l∥α，l⊥β?α⊥β.

其中正确的命题有( C )

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

解析：对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.

3.(2013·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C )

A．l∥m，l⊥α  B．l⊥m，l⊥α

C．l⊥m，l∥α  D．l∥m，l∥α

解析：对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m?α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m?α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.

4.(2012·浙江省高考5月份押题)已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m?α，m⊥γ，则有( B )

A．α⊥γ且m∥β  B．α⊥γ且l⊥m

C．m∥β且l⊥m  D．α∥β且α⊥γ

解析：m?α，m⊥γ?α⊥γ，又l?γ?m⊥l，故选B.

5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是 垂直 .

解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.

又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，

所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.

6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ①③④?②或②③④?① .

7.(2012·皖南八校第二次联考)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 2 个．

解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题．

 

 

8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．

(1)证明：AB⊥MN；

(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.

证明：(1)因为N为PC的中点，

所以ON∥PA.

而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.

所以ON⊥AB.

又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，

所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，

所以AB⊥MN.

(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.

故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC.

连接MC，

由Rt△BCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.

因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，

又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，

所以平面MNO⊥平面PCD.

9.(2012·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁的中点，F为棱BC的中点．

(1)求证：AE⊥DA₁；

(2)求在线段AA₁上找一点G，使AE⊥平面DFG.

解析：(1)连接AD₁，BC₁，

由正方体的性质可知，

DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，

又AB∩AD₁＝A，

所以DA₁⊥平面ABC₁D₁，

又AE?平面ABC₁D₁，

所以AE⊥DA₁.

(2)所求G点即为A₁点，证明如下：

由(1)知AE⊥DA₁，

取CD的中点H，连接AH，EH，

由平面几何知识易得DF⊥AH，

又DF⊥EH，AH∩EH＝H，所以DF⊥平面AHE，

所以DF⊥AE，

又因为DF∩A₁D＝D，

所以AE⊥平面DFA₁，即AE⊥平面DFG.