2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word精校版）

2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word精校版）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）       已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（    ）

（A）｛--1,0｝  （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝  （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得，故，故选A

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（     ）

   （A）-1    （B）0   （C）1   （D）2

【答案】B

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(      )

（A）     逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B）      2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C）      2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

（D）     2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

（4）等比数列｛a_n｝满足a₁=3， =21，则 (     )

（A）21      （B）42       （C）63     （D）84

【答案】B

（5）设函数,(     )

（A）3     （B）6       （C）9     （D）12

【答案】C

【解析】由已知得，又，所以，故

．

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A）        （B）       （C）       （D）

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=

（A）2      （B）8       （C）4      （D）10

【答案】C

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0                B.2            C.4                D.14

【答案】B

【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π    B.64π    C.144π    D.256π

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为

，故选C．

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

【答案】B

的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）√5    （B）2     （C）√3    （D）√2

 

【答案】D

（12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是

（A）         （B）

（C）        （D）

【答案】A

【解析】

记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是

，故选A．

 

二、填空题

（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

 【答案】

【解析】因为向量与平行，所以，则所以．

（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．

【答案】

（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．

【答案】

【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．

（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

 

三．解答题

（17）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。

(Ⅰ)求;

(Ⅱ) 若=1，=求和的长.

 

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76

        78  86  95  66  97  78  88  82  76  89

 

B地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82

        93  48  65  81  74  56  54  76  65  79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB = 16，BC = 10，AA₁ = 8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E = D₁F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

 

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

21．（本小题满分12分）

设函数。

（1）证明：在单调递减，在单调递增；

（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。

 

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积。

 

 

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C₁：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：，C₃：。

（1）求C₂与C₃交点的直角坐标；

（2）若C₁与C₂相交于点A，C₁与C₃相交于点B，求的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：

（1）若ab > cd；则；

（2）是的充要条件。

 

 

 

 

 

 

附：全部试题答案