2015年上海市高考数学试卷（理科）

 

2015年上海市高考数学试卷（理科）

　

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）（2015·上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?_UΒ=　　　　　　．

　

2．（4分）（2015·上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=　　　　　　．

　

3．（4分）（2015·上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c₁﹣c₂=　　　　　　．

　

4．（4分）（2015·上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=　　　　　　．

　

5．（4分）（2015·上海）抛物线y²=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　　　　　　．

　

6．（4分）（2015·上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为　　　　　　．

　

7．（4分）（2015·上海）方程log₂（9^x﹣1﹣5）=log₂（3^x﹣1﹣2）+2的解为　　　　　　．

　

8．（4分）（2015·上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为　　　　　　（结果用数值表示）．

　

9．（2015·上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C₁和C₂．若C₁的渐近线方程为y=±x，则C₂的渐近线方程为　　　　　　．

　

10．（4分）（2015·上海）设f^﹣1（x）为f（x）=2^x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f^﹣1（x）的最大值为　　　　　　．

　

11．（4分）（2015·上海）在（1+x+）¹⁰的展开式中，x²项的系数为　　　　　　（结果用数值表示）．

　

12．（4分）（2015·上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ₁和ξ₂分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ₁﹣Eξ₂=　　　　　　（元）．

　

13．（4分）（2015·上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x₁，x₂，…，x_m满足0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤6π，且|f（x₁）﹣f（x₂）|+|f（x₂）﹣f（x₃）|+…+|f（x_m﹣1）﹣f（x_m）|=12（m≥12，m∈N^*），则m的最小值为　　　　　　．

　

14．（2015·上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则·=　　　　　　．

　

　

二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．（5分）（2015·上海）设z₁，z₂∈C，则“z₁、z₂中至少有一个数是虚数”是“z₁﹣z₂是虚数”的（　　）

	A．	充分非必要条件	B．	必要非充分条件
	C．	充要条件	D．	既非充分又非必要条件

　

16．（5分）（2015·上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（　　）

A．

B．

C．

D．

　

17．（2015·上海）记方程①：x²+a₁x+1=0，方程②：x²+a₂x+2=0，方程③：x²+a₃x+4=0，其中a₁，a₂，a₃是正实数．当a₁，a₂，a₃成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）

	A．	方程①有实根，且②有实根	B．	方程①有实根，且②无实根
	C．	方程①无实根，且②有实根	D．	方程①无实根，且②无实根

　

18．（5分）（2015·上海）设 P_n（x_n，y_n）是直线2x﹣y=（n∈N^*）与圆x²+y²=2在第一象限的交点，则极限=（　　）

A．

﹣1

B．

﹣

C．

1

D．

2

　

　

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）（2015·上海）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A₁、C₁、F、E四点共面，并求直线CD₁与平面A₁C₁FE所成的角的大小．

　

20．（14分）（2015·上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t₁时乙到达C地．

（1）求t₁与f（t₁）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t₁≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t₁，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

　

21．（14分）（2015·上海）已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．

（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=2|x₁y₂﹣x₂y₁|；

（2）设l₁与l₂的斜率之积为﹣，求面积S的值．

　

22．（16分）（2015·上海）已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1﹣a_n=2（b_n+1﹣b_n），n∈N^*．

（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；

（2）设{a_n}的第n₀项是最大项，即a≥a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}的第n₀项是最大项；

（3）设a₁=λ＜0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范围，使得{a_n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．

　

23．（18分）（2015·上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．

（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；

（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=c；

（3）证明：“u₀为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u₀+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

　

　

 

2015年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

　

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）（2015·上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?_UΒ=　{1，4}　．

 

考点：	交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：	集合．
分析：	本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
解答：	解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}， ∴（?UB）={x|x＞3或x＜2}， ∴A∩（?UB）={1，4}， 故答案为：{1，4}．
点评：	本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．

　

2．（4分）（2015·上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=　　．

 

考点：	复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：	数系的扩充和复数．
分析：	设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
解答：	解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R）， 又3z+=1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i， 化为4a+2bi=1+i， ∴4a=1，2b=1， 解得a=，b=． ∴z=． 故答案为：．
点评：	本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．

　

3．（4分）（2015·上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c₁﹣c₂=　16　．

 

考点：	二阶行列式与逆矩阵．菁优网版权所有
专题：	矩阵和变换．
分析：	根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
解答：	解：由题意知，是方程组的解， 即， 则c1﹣c2=21﹣5=16， 故答案为：16．
点评：	本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．

　

4．（4分）（2015·上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=　4　．

 

考点：	棱锥的结构特征．菁优网版权所有
专题：	空间位置关系与距离．
分析：	由题意可得（·a·a·sin60°）·a=16，由此求得a的值．
解答：	解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为·a·a·sin60°，正棱柱的高为a， ∴（·a·a·sin60°）·a=16，∴a=4， 故答案为：4．
点评：	本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．

　

5．（4分）（2015·上海）抛物线y²=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　2　．

 

考点：	抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：	计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：	利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
解答：	解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1， 所以=1， 所以p=2． 故答案为：2．
点评：	本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．

　

6．（4分）（2015·上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为　　．

 

考点：	旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有
专题：	空间位置关系与距离．
分析：	设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
解答：	解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， ∴l=2h， 设母线与轴的夹角为θ， 则cosθ==， 故θ=， 故答案为：．
点评：	本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．

　

7．（4分）（2015·上海）方程log₂（9^x﹣1﹣5）=log₂（3^x﹣1﹣2）+2的解为　2　．

 

考点：	对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：	函数的性质及应用．
分析：	利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
解答：	解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]， ∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）， 化为（3x）2﹣12·3x+27=0， 因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0， ∴3x=3，3x=9， 解得x=1或2． 经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2． 故答案为：2．
点评：	本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．

　

8．（4分）（2015·上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为　120　（结果用数值表示）．

 

考点：	排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
专题：	计算题；排列组合．
分析：	根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
解答：	解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师， 在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种； 其中只有女教师的有C65=6种情况； 则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种； 故答案为：120．
点评：	本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．

　

9．（2015·上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C₁和C₂．若C₁的渐近线方程为y=±x，则C₂的渐近线方程为　　．

 

考点：	双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：	计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：	设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．
解答：	解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ， 设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ， ∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即． 故答案为：．
点评：	本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．

　

10．（4分）（2015·上海）设f^﹣1（x）为f（x）=2^x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f^﹣1（x）的最大值为　4　．

 

考点：	反函数．菁优网版权所有
专题：	函数的性质及应用．
分析：	由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．
解答：	解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]， 可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数， 因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数， ∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4． 故答案为：4．
点评：	本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．

　

11．（4分）（2015·上海）在（1+x+）¹⁰的展开式中，x²项的系数为　45　（结果用数值表示）．

 

考点：	二项式系数的性质．菁优网版权所有
专题：	二项式定理．
分析：	先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
解答：	解：∵（1+x+）10 =， ∴仅在第一部分中出现x2项的系数． 再由，令r=2，可得， x2项的系数为． 故答案为：45．
点评：	本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．

　

12．（4分）（2015·上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ₁和ξ₂分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ₁﹣Eξ₂=　0.2　（元）．

 

考点：	离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
专题：	概率与统计．
分析：	分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
解答：	解：赌金的分布列为   1 2 3 4 5 P 所以  Eξ1=（1+2+3+4+5）=3， 奖金的分布列为   1.4 2.8 4.2 5.6 P = = = = 所以 Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8， 则 Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元． 故答案为：0.2
点评：	本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．

　

13．（4分）（2015·上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x₁，x₂，…，x_m满足0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤6π，且|f（x₁）﹣f（x₂）|+|f（x₂）﹣f（x₃）|+…+|f（x_m﹣1）﹣f（x_m）|=12（m≥12，m∈N^*），则m的最小值为　8　．

 

考点：	正弦函数的图象．菁优网版权所有

　

14．（2015·上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则·=　﹣　．

 

考点：	平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专题：	平面向量及应用．
分析：	由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．
解答：	解：如图， ∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，， 可得，，∴． 又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=． 由，得． 则． ∴·==． 故答案为：．
点评：	本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．

　

二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．（5分）（2015·上海）设z₁，z₂∈C，则“z₁、z₂中至少有一个数是虚数”是“z₁﹣z₂是虚数”的（　　）

	A．	充分非必要条件	B．	必要非充分条件
	C．	充要条件	D．	既非充分又非必要条件

 

考点：	必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专题：	简易逻辑；数系的扩充和复数．
分析：	根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
解答：	解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立， 若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时， 则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立， 故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件， 故选：B．
点评：	本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．

　

16．（5分）（2015·上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（　　）

A．

B．

C．

D．

 

考点：	任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
专题：	三角函数的求值．
分析：	根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
解答：	解：∵点 A的坐标为（4，1）， ∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==， 将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB， 则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=， 则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=， 故选：D．
点评：	本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．

　

17．（2015·上海）记方程①：x²+a₁x+1=0，方程②：x²+a₂x+2=0，方程③：x²+a₃x+4=0，其中a₁，a₂，a₃是正实数．当a₁，a₂，a₃成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）

	A．	方程①有实根，且②有实根	B．	方程①有实根，且②无实根
	C．	方程①无实根，且②有实根	D．	方程①无实根，且②无实根

 

考点：	根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
专题：	函数的性质及应用．
分析：	根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．
解答：	解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0， 即a12≥4，a22＜8， ∵a1，a2，a3成等比数列， ∴a22=a1a3， 即a3=， 则a32=（）2=， 即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根， 故选：B
点评：	本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．

　

18．（5分）（2015·上海）设 P_n（x_n，y_n）是直线2x﹣y=（n∈N^*）与圆x²+y²=2在第一象限的交点，则极限=（　　）

A．

﹣1

B．

﹣

C．

1

D．

2

 

考点：	极限及其运算．菁优网版权所有
专题：	导数的综合应用．
分析：	当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．
解答：	解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1． ∴=﹣1． 故选：A．
点评：	本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

　

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）（2015·上海）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A₁、C₁、F、E四点共面，并求直线CD₁与平面A₁C₁FE所成的角的大小．

 

考点：	直线与平面所成的角．菁优网版权所有
专题：	空间角．
分析：	利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．
解答：	解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1， 所以EF∥A1C1， 所以A1、C1、F、E四点共面． 以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得 ， 设平面A1C1EF的法向量为 则，所以，即，     z=1，得x=1，y=1，所以， 所以=， 所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．
点评：	本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型．

　

20．（14分）（2015·上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t₁时乙到达C地．

（1）求t₁与f（t₁）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t₁≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t₁，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

 

考点：	余弦定理的应用．菁优网版权所有
专题：	解三角形．
分析：	（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得； （2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．
解答：	解：（1）由题意可得t1==h， 设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米， ∴f（t1）=PC= ==千米； （2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点， ∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t， ∴f（t）=PQ= = =， 当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P， ∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t ∴f（t）= ∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]， 故f（t）的最大值超过了3千米．
点评：	本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．

　

21．（14分）（2015·上海）已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．

（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=2|x₁y₂﹣x₂y₁|；

（2）设l₁与l₂的斜率之积为﹣，求面积S的值．

 

考点：	直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：	直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：	（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|； （2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案． 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．
解答：	解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==， 因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|； （2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣， 设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±， 根据对称性，设x1=，则y1=， 同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=． 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣， 所以x1x2=﹣2y1y2， ∴=4=﹣2x1x2y1y2， ∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上， ∴（）（）=+4+2（+）=1， 即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1， 所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=， 所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．
点评：	本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

　

22．（16分）（2015·上海）已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1﹣a_n=2（b_n+1﹣b_n），n∈N^*．

（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；

（2）设{a_n}的第n₀项是最大项，即a≥a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}的第n₀项是最大项；

（3）设a₁=λ＜0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范围，使得{a_n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．

 

考点：	数列递推式；数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：	创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：	（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求； （2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案； （3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．
解答：	（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5， ∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6， ∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6， 则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5； （2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1 =2bn+a1﹣2b1， ∴， ∴． ∴数列{bn}的第n0项是最大项； （3）由（2）可得， ①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值； 单调递增，有最小值m=a1=λ， ∴∈（﹣2，2）， ∴λ∈， ∴． ②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1， （﹣2，2），不满足条件． ③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值； 当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．
点评：	本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．

　

23．（18分）（2015·上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．

（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；

（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=c；

（3）证明：“u₀为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u₀+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

 

考点：	函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
专题：	创新题型；函数的性质及应用．
分析：	（1）根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可； （2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明； （3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．
解答：	解：（1）g（x）=x+sin； ∴==cosg（x） ∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数； （2）∵f（x）的值域为R； ∴存在x0，使f（x0）=c； 又c∈[f（a），f（b）]； ∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数； ∴a≤x0≤b； 即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c； （3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解； 则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T； ∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T； ∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解； ∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）： ①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立； ②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1； ∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2； 1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π； cosf（x0+T）=cosf（x0）=1?f（x0+T）=2k2π，k2∈Z； ∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）； ∴4π＜2k2π＜6π； ∴2＜k2＜3，无解； 2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π； 则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解； 但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立； ③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解； 设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）； 则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解； 又f（x+T）∈（4π，8π）； 而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解； ∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）； ∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
点评：	考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．

　

 

参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；海燕；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）

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2015年6月25日