2014-2015学年天津市蓟县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）
A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm
2．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（）
A．是直角三角形B．是锐角三角形
C．是钝角三角形D．属于哪一类不能确定
5．五边形的内角和是（）
A．180°B．360°C．540°D．600°
6．能将三角形面积平分的是三角形的（）
A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线
7．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）
A．50°B．30°C．80°D．100°
8．下列说法中不正确的是（）
A．全等三角形一定能重合B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等
9．如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．
A．2B．3C．4D．5
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（）
A．7B．8°C．9°D．10°
11．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，已知EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则需要（）
A．AB=CDB．EC=BFC．∠A=∠DD．AB=BC
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是°．
14．一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为边形．
15．三角形的重心是三角形的三条的交点．
16．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=．
17．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=．
18．如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AB=10cm，则△DEB的周长为．
三、解答题（共96分）
19．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
20．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．
21．已知：如图，点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：∠B=∠D．
22．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．
（1）求∠FBD的度数．
（2）求证：AE∥BF．
23．已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
24．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
25．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
2014-2015学年天津市蓟县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）
A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解答：解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．
故选B．
点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：分5cm是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
解答：解：5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形，
10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm，
能组成三角形，
周长=5+10+10=25cm，
综上所述，此三角形的周长是25cm．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
考点：三角形的稳定性．
分析：根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
解答：解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
点评：本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（）
A．是直角三角形B．是锐角三角形
C．是钝角三角形D．属于哪一类不能确定
考点：三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：由三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，且根据此外角小于与它相邻的内角，可得此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，可得这个三角形为钝角三角形．
解答：解：∵三角形的外角与它相邻的内角互补，且此外角小于与它相邻的内角，
∴此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，
则这个三角形为钝角三角形．
故选C
点评：此题考查了三角形的外角性质，其中得出三角形的外角与它相邻的内角互补是解本题的关键．
5．五边形的内角和是（）
A．180°B．360°C．540°D．600°
考点：多边形内角与外角．
专题：常规题型．
分析：直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
解答：解：（5﹣2）?180°=540°．
故选：C．
点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
6．能将三角形面积平分的是三角形的（）
A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线
考点：三角形的面积．
分析：根据三角形的面积公式，只要两个三角形具有等底等高，则两个三角形的面积相等．根据三角形的中线的概念，故能将三角形面积平分的是三角形的中线．
解答：解：根据等底等高可得，能将三角形面积平分的是三角形的中线．故选C．
点评：注意：三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分．
7．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）
A．50°B．30°C．80°D．100°
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．
解答：解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠D=∠B=30°．
故选B．
点评：此题考查三角形全等的判定和性质，注意利用已知隐含的条件：对顶角相等．
8．下列说法中不正确的是（）
A．全等三角形一定能重合B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等
考点：全等图形．
分析：根据能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可．
解答：解：根据全等三角形的定义可得A、B、C正确，但是周长相等的两个三角形不一定全等，
故选：D．
点评：此题主要考查了全等三角形的定义，题目比较简单．
9．如图，AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（）对全等三角形．
A．2B．3C．4D．5
考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：根据AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，易证得△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE；由以上全等易证得△DCE≌△BCE（SSS），即可得全等三角形的对数．
解答：解：∵AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，
∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE=BE，DC=BC，EC为公共边，
∴△DCE≌△BCE（SSS）．
所以共有3对三角形全等．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（）
A．7B．8°C．9°D．10°
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAD的度数，从而不难求解．
解答：解：∵AE⊥BC于E，∠B=40°，
∴∠BAE=180°﹣90°﹣40°=50°，
∵AD平分∠BAC交BC于D，∠BAC=82°，
∴∠BAD=41°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=9°．
故选C．
点评：此题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质的综合运用．
11．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：证明题．
分析：根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确．
解答：解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，∴①正确；
由勾股定理得：AF=，AE=，
∵AD=AD，DF=DE，
∴AE=AF，∴②正确；
∵AF=AE，BF=CE，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，AD⊥BC，
∴③④都正确；
∴正确的有4个．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理，角平分线性质和等腰三角形的性质等的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．
12．如图，已知EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则需要（）
A．AB=CDB．EC=BFC．∠A=∠DD．AB=BC
考点：全等三角形的判定．
分析：根据EA∥DF，可得∠A=∠D，然后有AE=DF，AB=CD，可得AC=DB，继而可用SAS判定△AEC≌△DBF．
解答：解：∵EA∥DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=DB，
在△AEC和△DBF中，
∵，
∴△AEC≌△DBF（SAS）．
故选A．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140°．
考点：三角形的外角性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：解：∵∠A=60°，∠B=80°，
∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．
故答案为：140．
点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
14．一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为8边形．
考点：多边形内角与外角．
分析：设多边形有n条边，根据多边形的内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360度可得方程180（n﹣2）=360×3，解方程即可．
解答：解：设多边形有n条边，则
180（n﹣2）=360×3，
解得：n=8．
故答案为：8．
点评：此题主要考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°．
15．三角形的重心是三角形的三条中线的交点．
考点：三角形的重心．
分析：根据三角形的重心的定义解答．
解答：解：三角形的重心是三角形的三条中线的交点．
故答案为：中线．
点评：本题考查了三角形的重心，是基础题，熟记概念是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=35°．
考点：等腰三角形的性质．
专题：计算题．
分析：根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，可知△ADB≌△AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．
解答：解：∵AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，
∴△ADB≌△AEC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
在△AEC中，∠CAE+∠C+∠AEC=180°，
∴∠CAE=180°﹣40°﹣105°=35°，
故答案为：35°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可．
17．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=6．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：由于AB∥CD、AE∥CF，根据平行线的性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知条件就可以证明△AEF≌△CFD，最后利用全等三角形的性质和已知条件即可求解．
解答：解：∵AB∥CD、AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，
而AE=CF，
∴△AEF≌△CFD，
∴DF=EB，
∴DE=BF，
∴EF=BD﹣2BF=6．
故答案为：6．
点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时首先利用平行线的性质构造全等条件证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．
18．如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AB=10cm，则△DEB的周长为10cm．
考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=ED，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出△DEB的周长=AB，代入数据即可得解．
解答：解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=10cm，
∴△DEB的周长=10cm，
故答案为：10cm．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，求出△DEB的周长=AB是解题的关键．
三、解答题（共96分）
19．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．
分析：根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解答：解：∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，
∴∠CED=∠AEF=55°，
∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．
答：∠ACD的度数为83°．
点评：三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
20．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠DAE=55°，求∠ACD的度数．
考点：三角形的外角性质．
分析：先根据角平分线的定义得出∠CAE的度数，再由三角形外角的性质得出∠ACB的度数，根据平角的定义即可得出结论．
解答：解：∵∠DAE=55°，ADF平分∠CAE，
∴∠CAE=110°，
∵∠CAE是△ABC的外角，∠B=30°，
∴∠ACB=110°﹣30°=80°，
∴∠ACD=180°﹣80°=100°．
点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
21．已知：如图，点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：∠B=∠D．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE=CF，两边加上EF得到AF=CE，利用SAS得到三角形ADF与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应角相等即可得证．
解答：证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=EF+FC，即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠D=∠B．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．
（1）求∠FBD的度数．
（2）求证：AE∥BF．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：（1）求出AC=BD，根据SSS推出△AEC≌△BFD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠FBD即可；
（2）因为∠A=∠FBD，根据平行线的判定推出即可．
解答：解：（1）∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
在△AEC和△BFD中
∵△AEC≌△BFD，
∴∠A=∠FBD，
∴∠A=∠FBD，
∵∠A=60°，
∴∠FBD=60°；
（2）证明：∵∠A=∠FBD，
∴AE∥BF．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先根据BD⊥AC，CE⊥AB可得出△ACE与△ABD是直角三角形，再由∠A=∠A，可得出∠C=∠B，由AB=AC可知△ACE≌△ABD，由全等三角形的性质可知，AE=AD，结合AB=AC即可得出结论．
解答：证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△ACE与△ABD是直角三角形，
∵∠A=∠A，
∴∠C=∠B，
在△ACE与△ABD中，
∵，
∴△ACE≌△ABD，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CD．
点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△ABD，再根据全等三角形的对应相等进行解答是解答此题的关键．
24．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；
（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．
解答：证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，
在Rt△COE和Rt△DOE中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），
∴CO=DO；
（2）∵EO平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE，
在△COF和△DOF中，
，
∴△COF≌△DOF（SAS），
∴FC=FD．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
25．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）求证：MN=AM+BN．
（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
解答：证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）结论：MN=BN﹣AM．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
∠AMC=∠CNB，
∠MAC=∠NCB，
AC=CB，
△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM﹣CN，
∴MN=BN﹣AM．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
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