一.rnn结构的BPTT学习算法存在的问题
先看一下比较典型的BPTT一个展开的结构，如下图，这里只考虑了部分图，因为其他部分不是这里要讨论的内容。
对于t时刻的误差信号计算如下：
这样权值的更新方式如下：
上面的公式在BPTT中是非常常见的了，那么如果这个误差信号一直往过去传呢，假设任意两个节点u, v他们的关系是下面这样的：
那么误差传递信号的关系可以写成如下的递归式：
n表示图中一层神经元的个数，这个递归式的大概含义不难理解，要求t-q时刻误差信号对t时刻误差信号的偏导，就先求出t-q+1时刻对t时刻的，然后把求出来的结果传到t-q时刻，递归停止条件是q = 1时，就是刚开始写的那部分计算公式了。将上面的递归式展开后可以得到：
论文里面说的是可以通过归纳来证明，我没仔细推敲这里了，把里面连乘展开看容易明白一点：
整个结果式对T求和的次数是n^(q-1), 即T有n^(q-1)项，那么下面看问题出在哪儿。
如果|T| > 1, 误差就会随着q的增大而呈指数增长，那么网络的参数更新会引起非常大的震荡。
如果|T| < 1， 误差就会消失，导致学习无效，一般激活函数用simoid函数，它的倒数最大值是0.25, 权值最大值要小于4才能保证不会小于1。
误差呈指数增长的现象比较少，误差消失在BPTT中很常见。在原论文中还有更详细的数学分析，但是了解到此个人觉的已经足够理解问题所在了。
二.最初的LSTM结构
为了克服误差消失的问题，需要做一些限制，先假设仅仅只有一个神经元与自己连接，简图如下：
根据上面的，t时刻的误差信号计算如下：
为了使误差不产生变化，可以强制令下式为1：
根据这个式子，可以得到：
这表示激活函数是线性的，常常的令fj(x) = x, wjj = 1.0，这样就获得常数误差流了，也叫做CEC。
但是光是这样是不行的，因为存在输入输出处权值更新的冲突(这里原论文里面的解释我不是很明白)，所以加上了两道控制门，分别是input gate, output gate，来解决这个矛盾，图如下：
图中增加了两个控制门，所谓控制的意思就是计算cec的输入之前，乘以input gate的输出，计算cec的输出时，将其结果乘以output gate的输出，整个方框叫做block, 中间的小圆圈是CEC, 里面是一条y = x的直线表示该神经元的激活函数是线性的，自连接的权重为1.0
三.增加forget gate
最初lstm结构的一个缺点就是cec的状态值可能会一直增大下去，增加forget gate后，可以对cec的状态进行控制，它的结构如下图：
这里的相当于自连接权重不再是1.0，而是一个动态的值，这个动态值是forget gate的输出值，它可以控制cec的状态值，在必要时使之为0，即忘记作用，为1时和原来的结构一样。
四.增加Peephole的LSTM结构
上面增加遗忘门一个缺点是当前CEC的状态不能影响到input gate, forget gate在下一时刻的输出，所以增加了Peephole connections。结构如下：
这里的gate的输入部分就多加了一个来源了，forget gate, input gate的输入来源增加了cec前一时刻的输出，output gate的输入来源增加了cec当前时刻的输出，另外计算的顺序也必须保证如下：
- input gate, forget gate的输入输出
- cell的输入
- output gate的输入输出
- cell的输出(这里也是block的输出)
五.一个LSTM的FULL BPTT推导(用误差信号)
我记得当时看论文公式推导的时候很多地方比较难理解，最后随便谷歌了几下，找到一个写的不错的类似课件的PDF,但是已经不知道出处了，很容易就看懂LSTM的前向计算，误差反传更新了。把其中关于LSTM的部分放上来，首先网络的完整结构图如下：
这个结构也是rwthlm源码包中LSTM的结构，下面看一下公式的记号：
- wij表示从神经元i到j的连接权重(注意这和很多论文的表示是反着的)
- 神经元的输入用a表示，输出用b表示
- 下标 ι, φ 和 ω分别表示input
gate, forget gate，output gate
- c下标表示cell，从cell到 input, forget和output gate的peephole权重分别记做
wcι , wcφ and wcω
- Sc表示cell c的状态
- 控制门的激活函数用f表示，g，h分别表示cell的输入输出激活函数
- I表示输入层的神经元的个数，K是输出层的神经元个数，H是隐层cell的个数
前向的计算：
误差反传更新：
