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相对论百年| 纯粹理性思维的巅峰之作(下)

2015-11-02  坤一生物

5广义相对论


广义相对论的想法源于1907年,当时爱因斯坦受邀写一篇关于狭义相对论的综述文章。爱因斯坦注意到牛顿理论依赖于绝对同时性(absolute simultaneity)的概念,笔者以为确切的说法应是引力相互作用的即时性问题((instantaneity)。如何改造牛顿力学使其象电动力学呢,如同在电动力学里那样引入时间延迟?但那样的效应很小,且会得出一些错误的结果,比如抛体会因为存在侧向速度其下落距离要短一些。爱因斯坦觉得不能在狭义相对论的框架内解决这个问题。爱因斯坦后来说他之所以发展广义相对论是对狭义相对论偏爱惯性运动不满意,一个从一开始就不偏爱任何运动状态的理论应该更让人满意些。狭义相对论的洛伦兹不变性太窄了,应该构造相对于四维连续统上非线性坐标变换的物理定律不变性。

牛顿引力场中的自由落体感觉不到自己的重量,这一事实给了爱因斯坦以醒酬灌顶似的启发。爱因斯坦觉得引力质量与惯性质量之间的等价性不是偶然的,它应该更有深意,可以基于这个弱等价原理去扩展狭义相对论。进一步地,爱因斯坦认识到匀加速运动和均匀引力是等价的,或者直截了当地说匀加速运动产生一个均匀引力场[6]—这意味着引力场可以用加速度(数学上为二阶微分形式)描述。加速度意味着速度的不停变化,结合狭义相对论坐标变换中速度描述时空坐标系的转动,显然引力场的相对论必然涉及弯曲时空。还有重要的一点是,马赫的力学批判引导爱因斯坦认为某个运动状态占优是由宇宙中的物质分布造成的,则物质分布应可自其所产生之引力场中的自由落体径迹推知。这样,到1912年夏天爱因斯坦手里有了构成广义相对论的诸多重要元素,他还需要合适的数学工具把思想翻译成方程。


广义协变性要求物理定律在所有的参考框架内应该取相同的数学形式。对非惯性参考框架要求物理定律不变,其实就是要求(二阶微分方程形式的)物理定律对含二阶微分项的变换的某种不变性,即微分同胚协变性”。这是一个强的、绝对性的约束。这个不变性的要求以及要构造的引力论本质上是几何的理论决定了张量语言是合适的表达工具。爱因斯坦为此不得不花时间学习张量的数学(4),试着在其上每一点狭义相对论都成立的洛伦兹流型上构造能描述引力的张量场。

即便有了物理思想与数学工具的准备,也并不存在指向正确的非线性引力场方程的明确路径。爱因斯坦能指望的就是基于哲学思考和对伟大综合理论的向往[11]去猜测了。从质量密度ρ产生的弱静引力场出发,其度规张量的分量g00近似地为g00~-(1 + 2φ),其中φ是由泊松方程▽2φ=4πGρ所决定的牛顿引力势。注意到非相对论性能量密度T00~ ρ,可得到关系▽2 g00=-8πGT00。这启发了爱因斯坦去猜测对于一般的能量-动量张量Tμν,引力场的方程应该取Gμν=-8πGTμν的形式。显然张量Gμν应该具有度规张量的二阶微分的量纲。考虑到能量-动量张量Tμν是对称的且在协变微分的意义上是守恒的等因素,爱因斯坦选取了Gμν=Rμν-1/2Rgμν从而最终到了广义相对论的场方程Rμν-1/2Rgμν=-8πGTμν [2,11,12]。能量-动量张量成了时空弯曲的起源,因此广义相对论是引力的几何理论。如同在狭义相对论中那样,物体运动沿时空中的测地线进行,广义相对论弯曲时空中的测地线方程为。用数学的语言,所谓的测地线就是流型上能平行移动其切矢量的曲线。

有趣的是,爱因斯坦在191511月报告了其广义相对论场方程的内容,19163月正式发表,但是针对此引力场方程的一个解已由Schwarzschild19161月就给出了。1917年,爱因斯坦期望从场方程得到一个静态宇宙的解,于是引人了宇宙常数项,由此场方程变成了Rμν-1/2Rgμν+Λgμν=-8πGTμν的形式[[13]


6爱因斯坦和广义相对论的影响


图五 (上)托勒密宇宙体系中天空是遥远的背景,右下角代表天穹的符号?是量子力学标志性的符号;(下)广义相对论关注宇宙大尺度的结构。


在广义相对论之前的物理学,即便采用了日心说,也还是离地不远的物理学。天空,或者更遥远的宇宙,是作为叙事背景存在的。1917年爱因斯坦将广义相对论用于模型化宇宙的大尺度结构,引导了引力论与现代宇宙学的发展[11,14],只是有了广义相对论以后,宇宙的大尺度结构才成了物理学研究的对象(5)。爱因斯坦的广义相对论不只是带来了宇宙图景认识的革命,也为理论物理学带来了独特的研究模式—凭借哲学与数学支撑的理性思维去洞察自然的奥秘。爱因斯坦的思想一直主导着其后基础物理的研究模式。爱因斯坦强调的研究方向,包括物理几何化、非线性(真正的物理定律不可能是线性的也不可能从线性得到)以及关于场之拓扑的考虑(其实就是注重理论架构及物理现实的整体性,反映的是其整体论的哲学),在过去几十年间得到了长足的进展。广义相对论还促进了几何学的大发展和催生了统一理论的发展。虽然最终的大统一理论尚未成功,但是强一电磁一弱三种相互作用的统一依然是个了不起的进步,为物理学打开了更加广阔的视野。此外,虽然闵可夫斯基是对称性作为物理学主导原则的肇始者,爱因斯坦在构造相对论过程中对对称性原则的推崇以及成功运用让对称性原则更加深入人心,使之成了指导和塑造理论物理的决定性概念或者原则。坐标变换不变性给出了广义相对论,阿贝尔规范对称性给出了电磁学,而非阿贝尔规范对称性给出非阿贝尔规范场,这些都是对称性原则在基础物理领域的胜利。对称性原则加上对称性破缺如今也是凝聚态物理研究的范式。


7结语


广义相对论是爱因斯坦一个人的辉煌,但广义相对论却不是无源之水。从朴素相对论简单的参照点平移下的不变性,伽利略相对论的关于绝对时空中观察者匀速运动的不变性,到闵可夫斯基空间中的洛伦兹不变性,再到一般赝黎曼流型上二阶微分方程(或者二次型微分形式)的坐标变换不变性,相对论是一条绵密的思想河流。它一定程度上—愚以为—是对(物理学上时空结构与动力学所涉及的)二阶微分方程变换不变性理论的由易到难的探索。爱因斯坦凭一己之力建立起相对论,不光是靠天才的大脑,重要的因素还包括其对电磁学细节的熟悉,德国社会深厚的哲学与数学底蕴对爱因斯坦的熏陶和帮助,前者得益于马赫、康德、莱布尼兹等人,后者得益于格罗斯曼、闵可夫斯基和希尔伯特等人。因此爱因斯坦是幸运的,也从来都是谦虚的,其所追求的物理学之表述都是清晰简单的(6)。如果把相对论同爱因斯坦的热力学成就相参校,也许对这种哲学、数学与物理学的协同效应在爱因斯坦身上的天才体现会有更深刻的认识。检视爱因斯坦其人其事,笔者有时甚至觉得是否可以这样说,(理论)物理学是得以数学化的自然哲学。此外,爱因斯坦后期把精力的大部分都花在寻求大统一场论的建立上并一直为其作辩护—自从广义相对论被创建以来这个问题就一直盘踞在他的脑海里。追求物理理论框架的大统一,是德意志这个迟来的民族国家追求统一的集体潜意识在物理学上的投射。

广义相对论是纯粹理性思维的巅峰之作。但是,考察爱因斯坦创立广义相对论的过程,无疑会看到爱因斯坦从未放弃把物理实在性作为其理论的锚点。在广义相对论创立之前,爱因斯坦就预言了光线在引力场中的偏转以及光谱在引力场深处的红移[15],在广义相对论发表的同时爱因斯坦就用该理论计算了水星近日点的进动。爱因斯坦的引力理论被接受,不只是因为其优雅的数学结构和能够纳人此前的牛顿理论的事实,更在于它始终关切可实证的物理实在。爱因斯坦构建广义相对论时所采取的思维方式,其对数学简单性的追求以及对实在性、整体论哲学的坚持,在一百年后的今天对理论物理——甚至其它自然科学领域——的研究依然具有不可忽视的指导意义。

 

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