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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设y? 12x1 e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程23 y???ay??by?cex的一个特解，则 ( ) (A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1 (3) 若级数 a n?1 n 条件收敛，则 x?x?3依次为幂级数 na(x?1) n n?1 n 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y? x，y?围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则( ) f?x,y?dxdy? D (A) d?? 34 1sin2?12sin2? f?rcos?,rsin??rdr (B) d?34 1sin2?12sin2? f? rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr (C) d?? 34 (D) d?34 f? rcos?,rsin??dr 1??111? (5) 设矩阵A?12a，b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组 14a2??d2????? Ax?b有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D) a??,d?? a??,d?? a??,d?? a??,d?? 222 (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为2y1 ，?y2?y3 其中P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为 ( ) 222 (A) 2y1 ?y2?y3222(B) 2y1 ?y2?y3222(C) 2y1 ?y2?y3222(D) 2y1 ?y2?y3 (7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P?AB??P?A?P?B? (B) P?AB??P?A?P?B? P?A?P?B?P?A?P?B?(C) P?AB?? (D) P?AB?? 22 (8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E??X?X?Y?2??? ( ) (A) ?3 (B) 3 (C) ?5 (D) 5 二、填空题：9(9) lim (10) (11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz (12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 (0,1) 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． lncosx _________. x?0x2 sinx (???21?cosx?x)dx?________. 2 ________. (x?2y?3z)dxdydz?__________. 2 (13) 000 22 ___________. 12 n阶行列式 00 00 22?12 ;1,1,0)，则P{XY?Y?0}?________. (14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. 3 (15)(本题满分10分) 设函数f?x??x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f x?与 g?x?在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值. (16)(本题满分10分) 设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线 y=f?x?在点?x0,f?x0??处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且 f?0??2，求f?x?的表达式. (17)(本题满分10分) 已知函数f x,y??x?y?xy，曲线C：x2?y2?xy?3，求f?x,y? 在曲线C上的最大方向导数. (18)(本题满分 10 分) u?vx)](x)(vx)?u(x)v?(x) （I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)( （II）设函数u1(x),u2(x),导公式. (19)(本题满分 10 分) ,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求 z? 已知曲线L 的方程为?起点为A ，终点为B0,， z?x, 计算曲线积分I? y?z?dx??z L 2 x2?y?dy?(x2?y2)dz. (20) (本题满11分) 设向量组α1,α2,α3内R的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+?k+1?α3. 3 （I）证明向量组?1?2?3为R3的一个基; （II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基?1有的ξ. (21) (本题满分11 分) 2?3下的坐标相同，并求所 02?3??1?20????? 设矩阵A???13?3?相似于矩阵B=?0b0?. 1?2a??031????? (I) 求a,b的值； 1 （II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.. x?2?ln2,x?0, (22) (本题满分11 分) 设随机变量X的概率密度为f?x??? x?0.??0, 对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数. (I)求Y的概率分布; (II)求EY (23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为： 1 ,??x?1,? f(x,?)??1?? 0,其他.? 其中?为未知参数，x1,x2,(I)求?的矩估计量. (II)求?的最大似然估计量. ,xn为来自该总体的简单随机样本. 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）. (2)设y? 12x1 e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex23 的一个特解，则 ( ) (A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1
y???3y??2y?cex，再将特解y?xex代入得c??1.故选（A）
(3) 若级数 a n?1 x?3依次为幂级数n条件收敛，则 x? na(x?1) n n?1 n 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 a n?1 n 条件收敛，即x?2为幂级数 a(x?1) nn?1 n 的条件收敛点，所以 a(x?1) nn?1? n 的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则( ) f?x,y?dxdy? D (A) d?? 34 1sin2?12sin2? f?rcos?,rsin??rdr (B) d?34 1sin2?12sin2f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr (C) d?? 34 (D) d?34 f?rcos?,rsin??dr 【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形，
1??111? (5) 设矩阵A?12a，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?bb??d?，?? 14a2??d2????? 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】D 111? 【解析】(A,b)??12a 14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)?? ， 由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2。故选（D） 222 (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为2y1 ，?y2?y3 其中P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为 ( ) 222 (A) 2y1 ?y2?y3222(B) 2y1 ?y2?y3222(C) 2y1 ?y2?y3222(D) 2y1 ?y2?y3 【答案】(A) 222 【解析】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y1.且 ?y2?y3 8 200??? PTAP??010? 00?1?. ???100??? Q?P?001??PC 0?10? ?? 200? QTAQ?CT(PTAP)C??0?10? 001? ?? 222 所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y1。选（A） ?y2?y3 (7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P?AB??P?A?P?B? (B) P?AB??P?A?P?B? (C) P?AB??【答案】(C) 【解析】由于AB?A,AB?B，按概率的基本性质，我们有P(AB)?P(A)且 P?A?P?B?P?A?P?B? (D) P?AB
22 (8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E??X?X?Y?2??? ( ) (A) ?3 (B) 3 (C) ?5 (D) 5 【答案】(D) 【解析】E[X(X?Y?2)]?E(X?XY?2X)?E(X)?E(XY)?2E(X) ?D(X)?E(X)?E(X)?E(Y)?2E(X) 2 3?2?2?1?2?2?5，选(D) . 22 2 二、填空题：9(9) lim 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． lncosx _________. x?0x2 9 【答案】? 1
(10) sinx(???21?cosx?x)dx?________. 2 (11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz【答案】?dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令F(x,y,z)?e?xyz?x?cosx?2，则 z (0,1) ________. Fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,Fy??xz,Fz?(x,y,z)?ez?xy
z 又当x?0,y?1时e?1，即z?0.
(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 (x?2y?3z)dxdydz?__________. 10 2 (13) 000 22 ___________. 12 n阶行列式 00 22?12 【答案】2 n?1 2 【解析】按第一行展开得
2n?1?2 ;1,1,0)，则P{XY?Y?0}?________. (14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0
P{XY?Y?0}?P{(X?1)Y?0}?P{X?1?0,Y?0}?P{X?1?0,Y?0} 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上
.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. 3 (15)(本题满分10分) 设函数f?x??x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f x?与 g?x?在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值. 11
(16)(本题满分10分) 设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线 y=f?x?在点?x0,f?x0??处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且 f?0??2，求f?x?的表达式. 【解析】设f?x?在点x0,f?x0?处的切线方程为：y?f?x0??f??x0??x?x0?, 12
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