 这几天有空就读郑毓信教授的优秀文集《数学教师的三大基本功》——善于举例，善于提问，善于优化。 真是太好了！ “善于举例”就是要让学生一听就明，而且有利于解析所要理解掌握的概念、公理、定理、法则等。前几天我们在研讨汇报课的上法问题，其中有个概念“函数的零点”，为了帮助学生理解：零点是一个数，不是坐标系上的点。有位老师上课时举例：蜗牛是牛吗？当时确得很好，很贴切。课后有老师提出疑问：城市里的孩子见过蜗牛吗？但大多数人认为学生从小到大，有关蜗牛的故事听得不少，从使没见过真的蜗牛，图片也会看过，这个例子是可行的。但另一个例子就直得斟酌：“海马是马吗？”不知道现在的高一学生有多少人认识海马的。在我的汇报课里，我举例：“中午12点是点吗？” 此例是否妥当，欢迎各位指导！ 善于举例 “数学教师的基本功”之一 编者按一个数学教师，除了应具备一般教师的教育素质，具备一定的数学素养，还应该具备哪些能力呢?南京大学哲学系教授郑毓信对此产生了诸多思考。他认为，数学教师的“数学教育”能力，既不应等同于“教育”，也不应等同于“数学”，或者两者的简单组合，而是一种特殊的能力。为此，他提出了数学教师的三个基本功：善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化的关系。本刊从这期起连载此三篇文章，以飨读者。 抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例——会举例，善于举例。这应当被看成数学教师的一个基本功。 应当指明，就高度抽象的数学概念而言。举例并非一件易事。以下就是笔者在南京大学执教时的一个亲身体验： 由于函数是数学中最为重要的基本概念之一，因此，作为大学微积分学课程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。结果发现：尽管当时的教学对象是文科学生，但大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”。即自变量、因变量和对应关系。进而，笔者又要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难．因为在中学的全部学习过程中，他们已经接触到了各种各样的函数．教材中也已给出了这些函数的若干实例。另外，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各种各样的函数。如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。 然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了一定的困难。当时有一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系。” “这能否被看成函数的实例?”笔者组织学生对此进行了简短讨论。以下的“修正”很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前的水平上．函数所涉及的只是数量之间的关系。然而，当教师提出以下问题后．大部分同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄之间并不存在必然的联系。这就是说，当他20岁时，他所消耗的食品可能是X吨。也完全可能是(X+1)吨或(X一1)吨。这种‘不确定性’是否与函数定义中所说的‘确定的对应关系’相矛盾?” 由于笔者没有立即提供相应的解答．而是让学生自己去思考．因此，在这一堂课后就有不少同学反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了!” 当然．这些学生所说的“原来是懂的”，其实并不是真懂；另外，就我们目前的论题而言，这也就十分清楚地表明：举例特别是举出适当的例子实非一件易事。 对于上述的例子，相信一些教师会认为：您这是就较为高深的数学概念而言的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如．通过1个苹果、两只桔子等实例我们就可顺利地帮助学生掌握1、2、3等概念及其运算：再例如。只需借助木制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可帮助学生顺利地建立起三角形的概念? ? 上面的看法应当说有一定道理．但是，作为问题的另一方面，我们又应强调指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子。但例子又有“好”与“坏”。或者说“恰当”与“不恰当”的区分。作出这种区分的一个重要标志是：这些例子是否真正有利于学生很好地去掌握相应的抽象概念。“会举例、善于举例”的一个具体内涵．就是应当有利于学生较好地实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。 显然．从这样的角度去分析，我们也就可以立即看出以下论述的不足之处：“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”因为。如果采用皮亚杰的术语，数学学习并非仅仅是一种“同化”(用建构主义的话来说，就是“意义赋予”)，而且也是一个“顺应” 的过程．即如何能够超出生活经验并学会数学地思维，特别是数学抽象。 下面这个四年级的教学实例①能给予我们直接的启示。 任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩．问12天耕地多少公亩?” 一位学生是这样解题的：52x150x12= (略)。接下来就出现了这样的师生对话： “告诉我．你为什么这么列式?” “老师。我错了。” “好的，告诉我．你认为正确的该怎么列式?” “除。” “怎么除?” “大的除以小的 ” “为什么是除呢?” “老师。我又错了。” “你说。对的该是怎样呢?” “应该把它们加起来 ” 显然，这位学生是在瞎猜。 “我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼．5天吃几个大饼?” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么?” “我经常吃粽子 ” “好。那你每天吃两个粽子．5天吃几个粽子?” “老师．我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子?” “吃半个就可以了。” “好， 那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?” “两个半。” “怎么算出来的?” “两天一个，5天两个半。” 对话进行到这里就很有点“搞笑”了!但是，如果要对这个学生的问题进行诊断．我想大家都会得出这样的结论：他所缺乏的并不是生活经验。而是数学抽象的能力。尽管这个学生已经上到了四年级．但在由“日常数学”上升到“学校数学” 这一方向上并未获得真正的进展。 在此我们应清楚地认识到：数学抽象事实上是一个模式化的过程。作为数学抽象的产物。数学概念(与命题)所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质— — 这就是所谓的“模式”。它与通常所说的“模型”是不同的．模型从属于某个特定的事物或现象．也就不具有模式那样的普遍意义。模式化的一个重要特征，就是“去情境化、去时间化和去个性化”。这意味着与现实原型在一定程度上的分离。由此可见数学教学中对于例子的恰当应用的重要性。 最后，从更为广泛的角度看．恰当举例不仅适用于数学教学，也适用于数学教材的编写：不仅适用于数学学习．而且也适用于任何一种抽象理论甚至是“研究传统” 的学习或继承。例如，著名科学哲学家库恩清楚地指明了“范式”对于科学活动的特殊重要性：常规情况下的科学研究就可被看成范式指导下的解疑活动；进而，就范式的学习而言．库恩又突出地强调了这样一点：只有借助于范例我们才能真正掌握相应的范式。“最基本的是．范式是指某些具体的科学成就事例，是指某些实际的问题解答．科学家认真学习这些解答。并仿照它们进行自己的工作。”②显然，这事实上也就更为清楚地表明了在具体与抽象之间所存在的重要的辩证关系。 另外，现代数学学习心理学的研究也为以上的论述提供了重要的论据。研究表明，就数学概念的学习而言，我们应对“概念定义”与“概念意象”作出明确的区分，因为，在大多数情况下。数学概念的心理对应物(心理表征)并非相应的形式定义．而是一个由多种成分组成的复合体。其中例子占据了十分重要的地位，它为主体获得适当的心理图像(视觉形象，对此不应简单地等同于直观形象)提供了直接的基础。 由此可见，我们不能停留于各个具体的例子。特别是不能停留于学生已有的知识和经验．而应努力帮助学生由具体实例上升到抽象的数学概念。但是，我们如何才能帮助学生很好地实现所说的“抽象” 呢? 先来看一个真实的故事。 20世纪60年代．一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中．父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得要学习这样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了。因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂!一点也不难。”“这样抽象的概念会这样容易懂吗?”听了女儿的回答。作为数学家的父亲仍然放不下心．因此就追问道：“你们的老师是怎么教你们的?” 女儿回答道：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来．然后告诉大家这就是男孩子的集合；然后．她又让所有的女孩子站起来．并说这是女孩子的集合；接下来．又是白人孩子的集合．黑人孩子的集合? ?最后教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。” 显然．这个教师所采用的教学方法并没有什么问题。甚至可以说相当不错。因此．父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”迟疑了一会儿。女儿最终作出了这样的回答：“不行!除非它们都能站起来!” 由此可见，学生的认知发展水平正是实现上述目标的一个必要条件。 从教学的角度看．比较应被看成实现数学抽象最为重要的一个手段。从这样的角度去分析．现行数学教学中经常可以看到的以下做法并非十分恰当．因为。这完全忽视了数学思维的特殊性。从而对于学生学会数学抽象就不是很有利： “分类”的教学常常是这样组织的：教师首先拿出事先准备好的一些模块— — 其中不仅呈现出了各种不同的形状．如三角形、四边形、圆形等．也被涂成了各种不同的颜色．它们是用一些不同的材料制成的．包括木制的、硬纸片的、塑料的等—— 教师要求学生对这些模块进行分类。在一般情况下学生往往会给出多种不同的分类方法．教师对此往也会普遍地加以肯定．甚至还会积极地鼓励学生去提出新的、更多的分类方法? ? 与此相对照，以下教学方法不仅有利于学生顺利地求解所面对的“水池问题”，而且也包含了由“表层结构”向“深层结构”的重要过渡，达到了更高的抽象层次：“学生在解决有关往水池里注水的问题时．会认为水池一边开进水管．一边开出水管．不论经过多长时间．都不会注满水池。在教学时，教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。(1)追及问题。客车每小时行4O千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方．同时沿笔直的公路行驶．多长时间小汽车能追上客车?(2)储蓄问题。爸爸每月工资420元．妈妈每月工资300元．每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能购买一台价格1350元的电视机?通过小汽车追上客车、家庭每月收支情况的实例，学生就容易弄明白．只要进水量大于出水量．经过一段时间水池就一定能注满水 ” ⑧ 另外．为了帮助学生很好地掌握数学概念的本质，我们在教学中不仅应当十分重视以所谓的“非标准变式”作为“标准变式”的必要补充。而且也应通过“概念变式”与“非概念变式”的必要对照。帮助学生切实避免或纠正各种可能的错误。 具体地说，在通过某些具体实例引出数学概念的同时．为了防止学生将相关实例的某些特殊性质误认为相应概念的本质属性。我们在教学中就不应局限于平时所经常用到的一些实例(这就是所谓的“标准变式”)，也应当有意识地去引入一些“非标准变式”。 例如，以下就是在教学中经常可以看到的一些错误观念，而学生之所以会形成这些错误观念，往往就与我们在教学中所使用的只是“标准变式”有着直接的关系：角必定有一条水平射线：直角必定是指向右边的角：三角形和四边形的底边都应处于水平位置：三角形的高必须处于垂直的位置．并必定与三角形的底边相交：对角线不可能处于垂直或水平的位置显然，从这样的角度去分析，我们也就可以理解引入以下一些“非标准图形” 对于改进教学的积极意义(图1)： 标准图形 非标准图形 垂直 图1 再者，由以下图形(图2)我们可以很好地理解“非概念变式”的作用：就概念的理解而言 这事实上起到了“反例”的作用，从而对于防止或纠正学生的错误观念也就具有特别的重要性。 概念图形④ 非概念图形 注释： ① 此例来自俞正强：《不让一个学生落后》，《人民教育》，2007年第7期。 ② [美]库恩：《必要的张力》，纪树立等译，福建人民出版社，1981年版，第346页。 ③ 本刊记者：《慎思敏行——访江苏省特级教师祝中录》，《小学数学教学》，2007年第9期。 (责任编辑余慧娟)（维普资讯 “数学教师的基本功”之二 中国数学教师在教学中的提问应当说十分普遍和频繁。但是．正如以下的调查所表明的，真正有质量的问题(或者说好的问题)并不多：在一次几何教学观摩中，一位教师在一堂课中共提了105个问题．数量之多连任课教师自己也不敢相信，但其中“记忆性问题居多(占74．3％)，推理性问题次之(占21．0％)，强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题”：另外，“提问后基本上没有停顿(占86．7％)，不利于学生思考” (!) 那么，从教学的角度看，究竟什么是“好的问题”呢?对此美国学者巴拉布与达菲应当说提供了一个很好的解答：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的：其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”② 由此可见，能够提出恰当的问题事实上也正是数学思维的一种表现．从而也就必然地有一个通过学习逐步养成的过程。 显然．从这样的角度去分析．我们也就可以立即看出以下一些提法的局限性：教学思想的发展可以归结为：由“教师问、学生答”经由“学生问、教师答” 最终演变成“学生问、教师帮、学生答”。“学生所提出的任何问题都是有用的。”再者．经常可以看到的以下做法显然也是过于简单了：有不少教师往往就以“这堂课你们想学些什么”作为课堂教学的直接开端．在学生从事了一定的解题活动之后，又常常会要求学生自己去编题；另外，各种教材中对于“你还能提出什么问题”这一用语的使用频度无疑也会给人留下十分深刻的印象。 事实上，正如以下的实例③所表明的，就现实而言，学生所提的问题常常是“从众”的结果(或是刻意的“标新立异”)，从而就很难被看成真正的创造性工作。如同解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自发地形成，而主要是一个文化继承的过程，教师更应在这一过程中发挥重要的指导作用： 信息提供： 故事书每套12元，连环画每套l5元，科学书每套18元 提出问题：买5套故事书和2套连环画．一共要付多少钱? 问题解答：12x5+15x2=60+30=90 f元)30=90 f元) 师：谁还能再提一个问题? 生1：买3套故事书和5套连环画．一共要付多少钱? 生2：买4套故事书和3套连环画．一共要付多少钱? 生1：买2套故事书和6套连环画．一共要付多少钱?…… 针对这样的情况，该文作者明确指出： “如果教师能抓住时机，启发引导，提示学生：‘科技书我们也要看啊’或‘能否求出两种书相差多少钱呢?’学生的思路自然就宽了。” 当然，我们也可对各种书的单价作出一定的改变，包括超出故事书、连环画和科技书的范围而谈到其他的书籍：我们甚至还可超出问题的“事实性内容” 而过渡到相应的数学结构。 总的来说，会提问、善于提问也应当被看成数学教师的又一基本功，应十分重视的是课堂提问的恰当性。 以下再围绕数学教学的具体目标对课堂提问的恰当性作出进一步的论述。 1．“解题策略”与问题提出。 正如人们普遍了解的，“问题解决” 不仅对于数学学习有着特别的重要性，而且也是数学活动的一个基本形式。特别是．所谓的“解题策略”更应被看成数学思维的一个重要方面。 就“问题解决”(包括中国的“数学方法论”)的现代研究而言，著名数学家、数学教育家波利亚关于“数学启发法”的研究为此奠定了必要的基础，因为，正是他从总体上确定了这种研究的性质：尽管不存在可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”。“各种各样的规则还是有的。诸如行为准则、格言、指南，等等。这些都还是有用的”。这也就是指，我们可以而且应当由已有的成功实践总结出一般的方法或模式(这就是所谓的“解题策略”)。以便在今后的类似情况中得到重要的启发。 波利亚还明确指出。一些定型的建议和可以被看成“数学启发法” 的主要内容，特别是，“可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问。”④ 这就十分清楚地表明了“提出问题”与解题能力之间的重要联系。 以下就是波利亚针对解题过程的各个主要步骤所提出的一些启发性的问题⑨： 第一，“弄清问题”。未知数是什么? 已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 第二。“拟定计划”。你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它?你能利用它的结果吗? 你能利用它的方法吗? 为了能利用它．你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其他数据?如果需要的话．你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念? 第三，“实现计划”。你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的? 第四．“回顾” 你能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这结果或方法用于其他的问题? 由此可见．适当地提问题事实上是“解题策略”的一个重要组成部分。当然，提问的恰当性不仅是指“在解题过程的不同阶段应当提出不同的问题”．而且也是指我们应当根据具体情况灵活地去运用这些“问题模式”— — 从而，就如我们不应将“解题策略”简单地理解成可以机械地用于解决各种问题的“万能方法”．我们在此也不应将“提出问题”看成某些现成策略的简单应用，这同样也是一种创造性的劳动。 2．“继续前进”与问题提出。 对于解决问题能力的突出强调。正是2O世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一数学教育改革运动的主要特征。然而，相关的实践又已表明。这一运动也有着明显的局限性，特别是，在相关的教学活动中．无论是学生或教师常常都只是满足于用某种方法(包括 观察、实验和猜测等)求得问题的解答，却忽视了还应进行进一步的思考和研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍性的理论。这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等。而这些又正是数学思维的一个重要特点。 正是基于这样的认识，人们明确提出：“求取解答并继续前进。”又由于“前进”的关键在于如何能由已完成的工作引出新的研究问题．因此．这也就从又一角度更为清楚地表明了学会提出问题对于数学学习的特殊重要性。 以下就是这方面常用的一些策略。 (1)一般化。这就是指，如何能对已获得的结果作出推广以求得更为一般的结果。 例如，在掌握了“三角形的内角和为180 ’以后．我们就应进一步去思考如何能够求得四边形、五边形乃至n边形的内角和，也即如何能将所获得的结果由三角形推广到一般的多边形?另外，“如何能由长方体的长、宽、高求取它的对角线”，显然就是将以下的问题由平面推广到了空间：“如何由长方形的长和宽去求取它的对角线”；以下则是这一问题的进一步推广：“已知平行六面体从对角线④的一个端点出发的三条棱的长度以及三棱间的三个夹角，求对角线的长。”“已知正八面体的棱，求其对角线的长。” ?? (2)求变(加大难度)。除去“一般化” 以外，如何能将问题变得更难一些显然也是发展与深化认识的一个重要途径— —这也就是这里所说的“求变”的主要含义。 例如，在解决了通常意义下的“幻方问题”(指如何在“九宫格” 中分别安放1、2、3、??9这样9个数字，并使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等)以后，我们就可通过“加大难度” 引出如下一系列新问题，通过求解这些问题我们便可更好地理解相关的解题策略： 第一，原先所用到的数字是1到9， 能否用2到10这9个数字去完成同样的工作?又能否采用87到95这9个数字? 第二，能否用3、6、9、12、15、18、? ?27这9个数字去完成同样的工作?或是用1到9 这9个数字的其他倍数? 第三，能否用5、8、11、14、l7、20??29这9个数字去完成同样的工作?或是任何一个 算术级数? (3)反向思维。这就是指通过交换问题中的已知成分与未知成分以引出新的问题。 例如，如果由勾股定理作为出发点．我们就可通过“反向思维”引出如下的问题：边长满足a％bz=cz的三角形是否一定是直角三角形? 容易看出，反向思维与“充分必要条件”的研究有着十分密切的联系。然而，应当强调的是，通过交换已知与未知成分所得出的又并非总是等值的情况．也可能是所谓的“开放题”从而就为新的探究活动提供了极大的空间。 例如， 以下的钱币组合问题是十分容易解决的：试计算出3个5角的硬币与4个1元 的硬币的总面值：(3x5)+(4xlO)= 55(角)=5元5角。进而．经由交换已知成分和未知成分，我们就获得了这样的问题：如何用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角?显然，这时存在多种可能的组合，从而也就为我们通过加大难度去提出问题开拓了新的可能性。如： 我们能否完全用5角的硬币去合成5元5角? 我们能否完全用1元的硬币去合成5元5角? 如果用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角．怎样搭配可以使得所使用的硬币数目最少?如果用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角。怎样搭配可以使得所使用的硬币数目最多? 对于任意一个介于所说的最少数目与最多数目之间的正整数而言．我们是否都可使用这么多的5角与1元的硬币合成5元5角? 3．学会学习与提出问题。 相对于具体知识和技能的学习而言，如何帮助学生学会学习显然更为重要。 就上述目标的实现而言，以下的一些提问策略是特别有用的。 (1)“为什么?”显然．经常问“为什么”正是促成由“知其然”向“知其所以然”转变的关键所在，就数学学习而言。这更有利于防止对于算法的机械记忆与模仿并真正实现理解学习。 另外，经常问“为什么” 也是导致严格逻辑证明的一个重要原因— — 更为一般地说，这十分有利于学生逐步养成一定的理性精神与批判能力。 值得指出的是，在学生出现错误时，要求他们对自己的做法说明理由也可帮助教师更好地了解学生真实的思维过程，包括找出错误的原因。从而可以更有针对性地工作。 例如．学生在进行乘法运算时出现如下错误很可能是由于“不适当的一般化”，即是将加法的相关性质— — 互补性— — 不恰当地推广应用到了乘法之中：4x7=(4-1)×(7+1)=3x8。 对此，我们应帮助学生养成这样的思维习惯，即在出现错误时应当深入地去思考相应的做法为什么是错的，后者对于认识的深化显然也十分有益。例如，就上例而言，对于错误原因的具体分析将有助于学生更为清楚地认识在加法与乘法之间所存在的重要差别，从而就可有效地防止类似错误的反复出现。 (2)“同与不同?”这方面的思考显然构成了数学中的分类．特别是数学抽象的直接基础：另外，从更深入的层次看，“类比联想” 的核心正是“求同存异”，从而也就同时包含了“同”与“不同”这样两个方面的思考：所谓“求同”，就是指如何通过抽象分析找出两个对象的类似之处，所谓“存异”，则是指在由已知事实去引出新的猜测时，我们又应特别注意两者的差异．也即必须依据对象的具体情况作出适当的“翻译”或“调整”。 应当提及的是，在一些学者看来．善于进行比较直接关系到了学习的本质。例如，按照瑞典著名教育家马登的“现象图式学”．学习的本质就是鉴别，鉴别又主要依赖于比较。由此也可印证“变式理论” 的合理性。 再者．适当的比较显然也是“优化”的必要基础。对此我们将在下一节中作出具体论述。 (3)“回头看。”波利亚关于解题活动各个主要步骤的分析显然表明：总结与反思也应被看成解题活动的重要组成部分。这也就是指，在问题获得解决以后我们还应对整个解题过程作出回顾，并深入地思考能否用别的方法求解同一问题，是否存在更为简单的解题方法，等等。 应当指明的是，除去“问题解决”以外，我们还可在更大的范围应用“回头看”这一策略。例如，在一个学段的学习任务完成以后，我们就应指导学生对相应的学习内容作出回顾。特别是．各个学习内容之间存在怎样的联系，什么是教材呈现的逻辑线索，在此又是否存在其他的选择，等等。显然，这些问题的思考不仅有利于学生跳出细节，并从整体上进行把握．而且也十分有利于学生超越教材逻辑线索的束缚，从而建立起更加合理的认知框架。 事实上，这也应当成为复习总结课的一项重要内容，我们应帮助学生逐步养成“回头看” 的思维习惯。 (4)”元认知”。研究表明：这正是解题活动高度自觉性的一个具体表现，即解题者对于自己所从事的活动，包括做什么(what)、为什么要这样做(why)、做了以后又取得了什么样的效果(how)，始终具有清醒的自我意识，并能及时作出必要的评价与调整。由于这些考虑都以解题活动作为直接的对象。达到了更高的思维层次．因此人们往往就将这方面的活动称为“元认知”。 除去“问题解决”以外，上述思考对于一般的学习活动显然也十分有益，特别是使之真正成为一种高度自觉的活动：我们不仅应当努力增强学习活动的计划性，而且也应在整个学习过程中始终对于自身所从事的学习活动，包括学习策略的应用与进展情况等保持清醒的自我意识，并能及时作出必要的评价与调整。 另外．相关的思考显然也表明，就学生提出问题能力的培养而言．不应被理解成对于各个提问策略的机械应用，恰恰相反，这里的关键也在于如何能够依据具体的学习内容与情境提出恰当的问题。例如，就“问题解决”而言．无论评价或调整我们显然都应“盯紧目标”，也即始终不应忘记我们所做的一切都是为了解决所面临的问题：另外，如果所从事的是抽象概念的学习，我们就应当经常问自己这样一些问题：究竟什么是相关概念的本质，我能否为这一概念举出一个实例，这一概念又与哪些概念密切相关，在它们之间有着什么样的共同点与不同点。等等。 最后，应当强调的是，除去上面已提及的“问题解决”、“继续前进”、“学会学习” 等具体目标以外．数学教学中的提问还有着更深层的意义：通过问题情境的设置我们可以不断培养与调动学生的好奇心，并促使他们积极地去进行探究，包括因此而获得深层次的快乐— — 更为一般地说，这事实上也就直接关系到了如何能够更好地发挥数学的文化价值。因此，努力培养学生的问题意识．并促使学生积极地去进行思考，从而逐步学会思考．这应当被看成数学教学的一个主要目标。 由以下的论述与实例我们可以更为清楚地认识实现上述目标的重要性与紧迫性。 “解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的理论。从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”⑥ 以下是几年前在中国和美国部分地区间进行的一项比较研究中的一个试题：就图1所示的情景提出三个数学问题，要求一个较为容易，一个较难，另一个则难度适中。④ 0 0 0 0 图1 结果表明：美国学生对于此类问题普遍感到较为容易，对中国学生来说却是相反的情况。事实上，这次测试共包括两个部分：第一部分要求学生按照所给出的情景— — 共有3个情景，图1是其中之一— — 分别提出易、中、难三个数学问题，但不需要求解；第二部分则要求学生实际求解试卷中根据特定情景所直接给出的两个数学问题。结果美国学生普遍地感到第二部分难于第一部分，对中国学生而言第二部分则似乎没有任何困难，但面对第一部分他们却显得完全不知所措。虽然这只是以小学四年级学生为对象所做的一次测试，但设计者后来又对中国的中学生甚至大学生进行了同样的测试，结果也出现．了同样的情况。由此可见，中国学生与美国学生相比较为缺乏提出问题的能力。 注释： (!)顾泠沅等：《寻找中间地带》，上海教育出版社，2003年版，第174—175页。 ② 引自《从实习场到实践共同体》，载乔纳森等主编：《学习环境的理论基础》，华东师范大学出版社，2002年版．第3l页。 ⑨ 祝家林：《小学数学课堂中学生答问从众现象之反思》， 《湖南教育·数学教师》，2007年8月号。 ④ 波利亚：《数学的发现》，第二卷， 内蒙古人民出版社，1980年版，第127页 ⑤ 详见波利亚：《怎样解题》，科学出版社，1982年版。 ⑥ 英费尔德、爱因斯坦：《物理学的进化》，上海科学技术出版社，1962年版．第66页。 ⑦ 这一材料由贵州师范大学副校长吕传汉提供。 (作者系南京大学哲学系教授) (责任编辑余慧娟)（维普资讯 “数学教师的基本功”之一 数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。从而，从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。 显然，从这样的角度去分析，我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性，因为，教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”，以致未能发挥应有的指导作用。 在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》①的文章中，作者提出了这样的观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。 上述立场无疑是正确的。但是，我们在此又应防止另外一种倾向，即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。例如，当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质，而学生说出“8是16的儿子”时，教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导？因为，学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性，而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。与自然语言相比；自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。再例如，当学生提出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”日甘，尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”（因为教师在当时所强调的是：“在减法中，被减数与减数绝对不可以交换位置。”）。但是，学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”，进而，在被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方，教师又是否应当“不加思考地”认错？ 为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵，以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。 例如，相对于1＋2〓2＋1这样的具体数量关系式而言，a＋b〓b＋a显然代表了认识的重要进步，而后者又正是对于诸多类似关系式在更高层次上的一个概括。这也就如著名哲学家怀特海所指出的：“在代数中，思想上限于特定数的限制取消了。我们写‘x＋y〓y＋x’，在这里，x和y是任何的两个数。这样，对模式的强调（不同于模式所涉及的特殊实体）增强了。”②当然，又如人们所了解的，在现代数学中a和b所代表的未必是具体的数量，可以是各种可能的对象，比如，（a＋b）既可能代表（刚性）运动的叠加，也可能代表变化的复合，等等，从而体现了更高程度的抽象。 正因为新的、更高层次的抽象相对于先前的抽象而言代表了认识的深化，这就从叉一角度更为清楚地表明了优化对于数学学习的特殊重要性。特别是，由于所说的深化在很多情况下往往也包含了观念的必要更新，即是用一种新的不同观点去看待一件熟悉的事物，甚至是用完全不相容的观点去取代原先｀的认识，因此，后者事实上也就应当被看成数学学习中“思维优化”的又一重要内涵。 这是在有理数乘除法的教学中经常可以看到的一种错误：尽管两个问题有着完全相同的数学结构，学生却采用了不同的运算去求解——也正因为如此，研究者们将此类错误称为运算的不守恒性”。 （1）某种奶酪的售价为每公斤28元,问：5公斤这样的奶酪售价是多少？ （2）某种奶酪的售价为每公斤27.50元，问：0.923公斤这样的奶酪售价是多少？ … 尽管实验者做了明显的提示，但是，被提问的学生仍然经常这样回答：应当用乘法求解第一个问题，第二个问题则应选用除法。 调查表明，导致上述错误的主要原因是：首先，学生头脑中存在关于乘除法的某些“基本原型”。例如，研究表明，大多数以色列学生关于乘法的原型主←要是“倍数问题”；美国学生关于除法的基本原型则主要是“分配问题”。显然，“基本原型”的存在主要反映了先前的学习活动包括生活经验会对主体进一步的学习活动产生十分重要的影响。其次，大多数学生又正是通过先前的学习，逐渐形成了与乘除运算直接相关的一些观念，特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念:“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；从而，在求解应用题时我们也就应当以较大的数作被除数，而以较小的数作除数。” 由于概念的不断扩展正是数学发展的一个基本形式，因此，由以上的分析我们也就可以立即引出这样的结论：观念的不断更新同样应当被看成数学思维发展的一个基本形式；进而，由于此类“规律性错误”的出现实非偶然，而是有其一定的认识论根源（或者说，这种错误事实上也有其下定的合理性），因此，相应的思维优化（或者说，观念的必要更新）也就不可能通过简单的示范或纠错得到实现，关键在于我们如何能够在学生头脑中引起必要的观念冲突，使之真正成为学生的一种自觉行为。 以下就是实现上述目标的一些有效措施： 第一，必要的比较。正如《善于举例》一文所已提及的，在一些学者看来，比较即是学习的本质所在，而这显然也为思维的必要优化提供了重要的背景。努力保持教学的开放性，如积极倡导解题方法的多样化等，与“思维的必要优化”不应当看成是直接相冲突的，相反，如何能很好地处理多元化与思维的必要优化这两者之间的辩证关系，正是教学艺术性的重要表现。这应被看成好的数学教学所应努力追求的一个目标。 第二，为了使思维的必要优化真正成为学生的自觉行为，我们又应努力促进学生的反思。例如，正如《善于提问》一文所提及的，在成功地解决了所面临的问题以后，我们就应促使他们对相应的解题活动作出总结与反思，如能否用别的方法去求解同一问题，这些方法又各有什么优点和局限性，等等。 注释： ①载《小学教学》2003年第4期。 ②引自《数学与善》，《数学哲学译文集》，知识出版社，1986年版，第349页。 （作者系南京大学哲学系教授。“数学教师的基本功”系列文章到此已刊载完毕。） |
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