经典力学中,一个谐振子(英语:harmonic oscillator)乃一个系统,当其从平衡位置位移,会感受到一个恢复力正比于位移,并遵守胡克定律: 其中是一个正值常数。 如果是系统仅受的力,则系统称作简谐振子(简单和谐振子)。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动,且振幅与频率都是常数(频率跟振幅无关)。 若同时存在一摩擦力正比于速度,则会存在阻尼现象,称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形,振动频率小于无阻尼情形,且振幅随着时间减小。 若同时存在跟时间相关的外力,谐振子则称作是受驱振子。 力学上的例子包括了单摆(限于小角度位移之近似)、连接到弹簧的质量体,以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子(electrical harmonic oscillator)(参见RLC电路)。 简谐振子[编辑]利用牛顿第二定律 则加速度 等于是的二次微分导数: 若定义,则方程可以写为如下: 可以观察到: 然后代回原式得到 积分可得 其中K是积分常数,设K = (A ω0)2 经过积分,结果(包括积分常数φ)为 并有一般解 另外也可以将一般解写成 其中的值与前面形式相比,偏移了; 又可以写作 其中与为透过初始条件决定的常数,以替代前面形式的与。 振动频率则为 动能为
以及势能(位能)为 所以系统总能为定值: 受驱谐振子[编辑]一受驱谐振子满足如下非齐次(nonhomogeneous)二阶线性微分方程
其中是驱动振幅而是驱动频率,针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC(电感L-电容C)电路以及理想化的弹簧系统(没有内部力学阻力或外部的空气阻力)。 阻尼谐振子[编辑]一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程
其中是由实验决定的阻尼常数,满足关系式。遵守此方程的系统,其中一例为置于水中的加权弹簧(weighted spring),若假设水所施的阻尼力与速度呈线性比例关系。 阻尼谐振子的频率为 其中 受驱阻尼振子[编辑]受驱阻尼振子满足方程
其一般解为两个解的和,一为暂态解( 无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解),与初始条件相关;另一为稳态解(非齐次常微分方程之特殊解),与初始条件无关,只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。 稳态解为 其中 为阻抗(impedance)或线性响应函数(linear response function)之绝对值 而 为相对于驱动力(相位定为0)的振动相位。 可以观察到,当在某特定驱动频率时,振子振动之振幅(相对于一给定之)达到最大。这发生在频率为 之时,而此现象称之为(位移上的)共振。 总结来说,在稳态时,振动频率等同于驱动力的频率,但振动与驱动力在相位上有偏移;且振幅大小与驱动频率相关,当驱动频率与振动系统偏好(共振)频率相同时,振幅达到最大。 完整数学描述[编辑]多数谐振子,至少近似上地说,是在解以下的微分方程: 其中t是时间,b是阻尼常数,ωo是本征角频率,而Aocos(ωt)代表驱动系统的某种事物,其振幅Ao而角频率ω。x是进行振荡的被测量量;可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关,关系式为 重要项[编辑] |
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