首先推荐一本讲共振的科普书,名字就叫《共振》,这本书是我高中时代学习物理的入门书之一,作者是李守中。 下面以力学里的受迫振动问题为例,介绍一下共振理论。 考虑一个理想的弹簧,弹性系数是k,没有阻尼,也没有外界的驱动。如果有一个质量为m的物体拴在这个弹簧上的话,它受到的力只有:F=-kx,考虑牛顿第二定律:F=ma=-kx,或写成: x上面的两个点表示对位置求二阶导数。 这个微分方程的解可表示为: 进一步,我们考虑质量为m的振子运动起来会受阻力,这个阻力的大小与速度成正比,方向与速度相反,即:-γv,这里γ表示阻尼系数,v表示振子的速度。 最后,我们考虑外界的驱动,假设外界的驱动是个周期性的外力f,角频率为Ω,f=H·cos Ωt。 这几个要素一起考虑的话,弹簧振子的牛顿第二定律可写为: 引入新的参数: 微分方程可改写为: 现在的问题是如何求受迫振动的解:x(t)。 我们用复数向量法求解x(t),即把x看成是复数向量,取实部后对应物理的解,复数向量满足的微分方程是: 考虑试探波函数: 第一项对应角频率为ω的阻尼振动,第二项对应角频率为Ω的振动。 分别求出x的一阶导数和x的二阶导数, 代入到包含周期驱动力的微分方程中去。 包含ω的复数向量的因子应当为0, 求出: 考虑微分方程中包含Ω的部分,求出: 考虑正弦函数的平方加余弦函数的平方是1,求出: 最终我们求出的解是一个频率为ω随时间衰减的振荡,与频率为Ω不随时间衰减的振荡的叠加。时间足够长后,只有后者能存在,其频率是Ω,振幅是B。 由B的表达式,我们可以看出当周期性外力的频率Ω等于系统没有阻尼时的固有频率ω0时,振幅B达到最大,此时对应的就是共振。如果同时阻尼β也很小的话,不论周期性外力f多么小,它最终都会驱使受迫振动的振幅变得很大很大。 共振示意图,横轴是频率,纵轴是振幅。外界驱动频率太大或太小都不好,要离系统固有频率不太远才好。 以上就是共振现象的物理学解释,这里虽然是以力学为例的,但对RLC电路的共振现象也适用。 |
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