草根研究|刘徽割圆术中体现出的数学思想初探

最近在教圆面积和圆周长时看了些资料，对于中国古代的割圆术颇感兴趣，做了些研究，在此谈一些自己的看法，但毕竟自己学识不高，若有说地不当之处望各位读者、专家指正

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法

阿基米德的双侧逼近法

古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小

举例说明

① 如果是正六边形？

② 如果是正十二边形？

我们发现随着边数的增加，确实圆外切正多边形的面积与圆内接正多边形面积的差值在减小，如果边数继续增加，那么这样的差值就趋近于0。

在此运算过程中体现的是：

深邃的极限思想与高明的逼近方法

注：用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

刘徽的割圆术

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣

（刘徽注《九章算术》）

刘徽将内接正多边形的面积，称之为“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。

同时，它与两个小红三角形的面积和相等。

刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。

在此刘徽运用的是出入相补原理：

出入相补是古中国数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理。

其内容有四：

一、一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积或体积维持不变=所有小图形面积或体积之和。

二、一个几何图形，可以任意旋转，倒置、移动、复制，面积或体积不变。

三、多个几何图形，可以任意拼合，总面积或总体积不变。

四、几何图形与其复制图形拼合，总面积或总体加倍。

注：“出入相补”最早也是刘徽提出的

我们把外围的四边形称之为“破缺外切正多边形”，圆的面积应该在内接正多边形面积与破缺外切正多边形之间。

刘徽的割圆术比阿基米德的双侧逼近法牛在哪里？

1

更精确

以正六边形为例

2

更好算

根据刘徽的割圆术，我们知道圆面积是在以下的区间内

相比阿基米德的双侧逼近法只需计算圆内接正多边形的面积即可，不用再计算圆外切正多边形，工作量减少一半

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。