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第五章：复数1 视频字幕： 我是Adrien Douady. 我在数学上的成就 集中于复数方面. 我的贡献在于推动了代数几何学 与动力系统理论. 复数历史悠久. 这儿左边是Tartaglia 和 Cardano, 复数的创始者,生活在文艺复兴时期. 右边是Cauchy 和 Gauss, 在19世纪巩固了这个理论. 复数 并不复杂! 它们曾被叫做'不可能的数字' 至今有时也会被称为'虚的'. 因为,它确实需要一点儿想像力。 然而今天,这些数在科学中随处可见 并也不再神秘了. 由它们还能画出 漂亮的分形图形。 我做过许多相关研究. 还制作了最早数学动画片之一 '兔子的动态图'。 我先在黑板上为你解释复数. 数学家总是喜欢用粉笔写字... 看我的三角尺和量角器 有时表现得很不寻常... 先画一条加上刻度的直线。 数学中最好的方法之一, 是将几何与代数联系起来. 这是代数几何学的开端. 数字可以两两相加, 点也可以! 看这红蓝两点， 都在直线上。 这两点相加， 等于绿点!一加二等于三! 移动红蓝两点, 其'和'绿点也随之移动. 更有趣的是点点之间还可以相乘. 如,乘以 -2 的运算. 将点 1 变为点 -2. 若再次乘以-2, 则换回到 原点的同一侧， 并将距离扩大两倍. 当然,我们得到 4. 所以连乘两次 -2,, 相当于乘以 4. 乘以-1是非常简单的. 每一点都被送到了关于 原点对称的一点上, 也就是转动半圈, 或说旋转180度. 一个数乘以它的本身, 结果总是正的. 如果乘一次负1, 是转动半圈; 再乘一次, 则回到了起点! 负1 乘以 负1 等于 正1。 你看, 乘以负1 的运算， 将 2 送到 -2。 若再次乘以负1 , 则又回到了 2. 很明显,不是吗? 因此,没有任何一个数 乘以它本身等于-1. 也就是说,-1没有平方根. 可数学家是极富创造力的! 19世纪初,Robert Argand 有一个非常棒的主意. 他对自己说: 既然乘以负1 是转动180度, 它的平方根应是转动它的一半:90度. 转动两次四分之一圈, 正好是转动半圈! 四分之一圈的平方是半圈,所以我们得到负1. 这样想就足够了! 因此,Argand宣布 负1 的平方根 是对应于1的一个90度的旋转. 然而,这迫使我们离开水平直线, 将一个数赋予 不在直线上的平面中的点! 由于这个构造有点儿奇怪, 我们说 负1 的平方根,是一个虚数。 并称它为 i. 但是,一旦我们有勇气离开直线, 问题就变得简单了. 2i,3i等都可被表现出来。 平面上的每一点都对应着一个复数 相反地,所有复数都定义一个平面上的点. 平面上的点全部变成了数! 而且他们还可以两两相加。 看这红点,它表示 1+2i . 将它与蓝点 3+i 相加， 很自然的， 我们得到... 4+3i . 从几何学角度来说,这只是向量相加. 不仅它们可以相加， 更有趣的是, 这些复数也可以相乘， 正如实数一样. 请看... 怎样将一个复数乘以 2. 2 乘以 1+2i 自然应该 等于 2+4i 。 从几何学角度来说,乘 2 非常简单; 它只是扩大两倍; 红点扩大两倍,正是绿点! 乘 i 也并不困难， 只是相当于转动四分之一圈. 要将 3+i 乘以 i, 只需将其转动四分之一圈. 得到的是 -1+3i 。 不算复杂吧! 最后,我们可将任意两个复数相乘 没有问题吧? 例如, 把 2+1.5i 与 -1+2.4 i 相乘. 如通常一样, 先算乘 2 ,再算乘 1.5i ,然后将结果相加. 于是我们得到: '2乘以...' 我们得到 -2 + 4.8 i + (- 1.5 i + 3.6*i*i)。 但是, 要记得 i 的平方等于 -1, 所以要把 i*i 换成 -1。 我们得到: -2 -3.6 加上... 整理一下, 即得到 -2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i , 结果是 -5.6 + 3.3 i 。 好了,现在我们能够 将复数相乘了， 换句话说,我们能将平面上的点相乘! 这太不可思议了! 我们曾认为平面是2维的 因为需要两个数 来描述任意一点的位置 但现在一个数就够了! 当然,现在涉及到的是复数! 此时要引进 两个新概念： 复数的模和辐角. 复数 z 的模 只是原点与 z 点之间的距离. 测量一下红点的模 也就是 2 + 1.5 i 的模 看, 它等于 2.5. 因此 2 + 1.5 i 的模是 2.5. 对于蓝点,我们得到 2.6. 对于绿点, 红点与蓝点的积， 我们得到 6.5 。 这是个规则:两个复数的乘积的模 正是它们的模的乘积. 复数的辐角 是这点和原点的连线， 与横轴的差角。 如红色复数的辐角 是36.8度. 蓝点的辐角是112.6度. 它们的乘积,绿点的辐角是149.4度; 这是两个数的辐角的和... 两个复数相乘, 相当于模相乘,辐角相加. 让我们用球极平面射影 来完结与复数的首次相遇. 取一球体,让它在原点与黑板相切. 对黑板上的每一点, 使用球极平面射影 将每个复数, 对应于球面上的一点. 只有球体的北极 也就是投影的极点， 与任何复数都没有联系。 我们说它对应于无穷远处. 数学家们说球面 是一条复射影直线. 为什么是直线? 因为只需一个数来描述它的点! 为什么是复的? 因为这些数是复数. 为什么是射影? 因为要用射影来加入一个无穷远点. 数学家们真是怪异， 竟然说球面是一条直线! 小贴士 【数理自学】主要以数理课程小视频、数理故事、科普知识等内容为主，把握数理教育的本性，回到'数理'的源头。 更多精彩内容，请继续关注【数理自学】 |
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