从古典到现代的数学 | 菲尔兹奖得主吴宝珠谈平面几何在现代数学中的意义

【译者按】本文刊发于《π 杂志》发刊号头版专栏《从古典到现代的数学》。在本文中作者吴宝珠简单地解释了如何从现代数学的视角来观察古老的平面几何，或者反之，如何从古老的平面几何“链接”到现代的几何思想。数学史的主流是概念体系的演变，是思想的进化，这一点在中国的数学教育中体现得非常之弱，不能不说是个巨大的遗憾。希望这一系列精心写作精心翻译的短文有助于弥补这个缺憾。

       数年前潘老师建议我将这一系列文章翻译出来，今天终于可以交上二十分之一的差了。

平面上的变换

欧氏平面几何的研究对象是平面上的点、线与圆，及其相对位置关系。19世纪末，在F. 克莱因, B. 黎曼, H. 庞加莱……的革命性思想的影响下，几何学在形式与内容两方面都经历了深刻的转变。几何学的对象不再是点与线，而是变换群及其不变量。

欧氏几何中那些人所熟知的直线与圆的问题和高等数学中变换的问题之间是有联系的，但在高等数学教程中，这种联系常常被人们忽视。本文旨在阐释这种联系。

为了理解本文，读者需要具备线性代数的某些基本概念，知道群的定义。

1.  仿射变换

欧氏几何的平面可以用实数域上的二维向量空间 来建模。平面上的每个点 都由其坐标 所确定，其中 是两个实数。原点记为。直线对应于 中由形如 的方程所定义的子集，其中 都是实数。方程 定义的直线经过原点，当且仅当 。

本节关心的变换是把直线变成直线的双射 。所有这样的变换组成一个群，因为对于给定的两个变换 和 我们总有其合成变换 。

根据定义，两条平行直线不相交，因此它们在变换下的像仍然是两条平行直线。同理，每个变换都把平行四边形变成平行四边形。如果 固定原点，也即 ， 那么 就必须是 上的线性变换。 上的线性变换形如

其中 为实数，且 。

如上的二阶实方阵全体所成的集合关于矩阵乘法是一个群，记为 。两个变换的合成对应于两个矩阵的乘积。

未必固定原点的变换 是如上所示与组成的方阵对应的线性映射复合上沿着某个向量的平移：

仿射变换，视频来自Leios Labs

因此，变换 可以用一个矩阵 与一个向量 来确定，对于所有，的公式为：

如此说来变换群 就是两个群的直积 吗？注意，中的合成法则比直积的合成法则略微复杂一些：若 且 ，则有

以上公式表明，仿射变换群 是个半直积

的每个元素可以表示为一个有序对，其中，，合成法则由公式给出。

仅仅牵涉到点、线与平行概念的平面几何定理，诸如泰勒斯定理、塞瓦定理、梅涅劳斯定理……都可以归约到仿射变换群 的结构问题。

在本文中，我们略过这一部分，而直接前进到平面几何更有趣的部分，那里可以考虑角度与圆的概念。角度与圆的存在对应于 的一个子群：保角变换群。

2. 平面保角变换

加入距离的概念之后平面几何变得更加有趣。从点 到原点 的距离由勾股定理给出：

除了直角坐标 ，我们也可以用极坐标 来确定平面上的点 ，其中 ， 是从射线 到射线 的有向角。从极坐标转换到直角坐标，我们有公式：

如果变换 固定原点，保持距离与有向角，那么 必然是围绕着原点的旋转。关于原点转过角度为 的旋转 是如下的线性变换：

把旋转的复合公式

写成矩阵乘法的形式，算一下，我们就得到以下熟知的三角学公式：

所有旋转矩阵组成一个群，记为，这个群同构于单位圆上的点组成的群 。

更一般地，固定原点并保持有向角的变换 就是旋转 复合上以正实数 为位似比，以原点为位似中心的位似变换。可见所有固定原点的保角变换所成之群是

保角变换在平面上的作用可以借助于复数得到方便的描述。对于实平面上具有坐标 的点，指定 为与之对应的复数，这样就把实平面 与复数集 等同起来。那么固定原点的保角变换所成之集合就是

其中围绕原点转角为 的旋转 相应于复数 ，位似比为 的位似变换相应于复数 ，二者的合成就相应于复数 。 在 上的作用由复数乘法 给出。从而全部保角变换所成之集合 就是如下半直积：

每个元素 都以 的形式作用在 上。

在将欧氏平面等同于复数集合之后，保角变换群就可以等同于群，我们就能透过不变量理论的棱镜来重新审视平面几何的基本性质。

在 上作用的基本不变量是单比

的确，对于任意，使用公式 易见

直线与点的基本性质都可以通过单比简明扼要地表达出来：

· 三点共线当且仅当单比为实数：

· 两条射线与成直角当且仅当单比为纯虚数：

· 三点按顺时针方向排列成一个等边三角形的三个顶点，当且仅当

其中是三次本原单位根。易见，这也等价于

 

欧拉线，图片来自维基百科

我们可以试着应用以上观察，通过复数来证明几条简单的几何定理。一个典型的例子是欧拉线定理：三角形的垂心、形心（译者注：中国中学教科书中习称“重心”，不甚妥）与外心三点共线（译者注：这条线就称为“欧拉线”，九点圆的圆心也在欧拉线上）。使用保角变换我们可以假定三角形的三个顶点落于单位圆上，分别对应于复数 。那么其外接圆的圆心就是复数 。三角形的形心就是复数 。运用直角的单比判据，可见三角心的垂心是复数 。我们发现形心，垂心，外心三点共线，形心位于外心与垂心之间，并且所分线段之比总是 。

欧拉线，视频来自Sipnayan

3.  复比

复比，视频来自爱数者

比单比的概念还要重要的概念是复比（译者注：也称“交比”，为了与“单比”形成对称，本译文中采用通常较少使用的“复比”译名） ，也即两个单比之比：

可以证明，复比为实数当且仅当四点共线或共圆。事实上，取通过 与 的直线，那么标准复比（译者注：置换这四个点就得到复比的其他定义方式，所谓“标准复比”是指如同上述公式定义的复比，详见下文）为实数就对应于以下三种情形：

1.   落在直线上; 

2. 落在直线 的同一侧，且 与 对线段 所张的视角相等；

3.   落在直线 的两侧，且 与 对线段 所张的视角互补。

置换四个点 ，复比 就会变成以下六个复数之一：。（译者注：4个点的所有置换共24个，但是复比在任意两对点同时对换时保持不变，也就是说每4个置换给出同一个复比值，于是24个置换最多给出6个不同的复比值。但这6个复比值仍有可能发生进一步的重合，可能只有3个不同的值，也可能只有2个。）显然，如果这6个数其中之一是实数，那么另外5个数就也都是实数。虽然这个评论是平凡的，但读者应当留意到平面几何问题中一个相当常用的技巧是对不同的角的对运用圆内接四边形的判别法则。这个技巧相当于对换点的位置之后计算复比。

圆反演，视频来自Double Donut

复比是比平面保角变换更一般的一类变换的不变量，这一类变换的典型例子是初等几何中的反演。反演把圆变成圆或直线，因此是初等几何中极富趣味的工具。反演的特征之一是它把反演中心变到无穷远点。映射 是典型的反演。

曼得博集合的反演，图片来自维基百科

反演是莫比乌斯变换群的元素。这个群作用在复射影直线 上。群 可以看作群的子群，作为的子群， 由 中固定的无穷远点的那些元素组成，因此如同已知的那样作用在上。

黎曼球面，视频来自美国数学会

我们把 中的点理解为复数域上二维向量空间 中的一维子空间。每条这样的复直线都是由一个非零向量 生成的。因此， 中的一点可以看作向量 的一个等价类，等价关系定义为： 当且仅当存在 使得 且 。 我们把这个等价类记作

若坐标 ，我们就有 ，因此 的每个满足坐标 的点都对应于恰好一个复数 。还剩下一个坐标 的点，称为无穷远点，记为 。

的线性变换群是所有复系数的二阶可逆矩阵关于通常的矩阵乘法所成之群

这个群按照公式

作用在上。

因为纯量矩阵

其中 ，平凡地作用于，所以全体莫比乌斯变换所成之群是群

的固定无穷远点的子群相应于所有 的矩阵，因此正是群。群是复射影直线的保角变换群。

莫比乌斯变换，视频来自djxatlanta

4. 结论

平面上所有几何问题都可重述为关于单比，也即复直线的保角变换群的不变量，或者关于复比，也即复射影直线 的保角变换群 的不变量的问题。原则上说，所有几何问题都可以转化为不变量理论的问题，因此可以运用不变量理论得到算法式的解决。比起初等几何方法来，这种解法有时更简单，但常常更繁琐，也不那么有趣。事实上，初等几何式的解答过程也可以翻译成不变量理论，翻译之后就是一连串多少有点技巧的不变量计算。这样的解答当然会比算法式的机器解答更加紧凑，但是可以解决所有初等几何问题的机器算法的存在性本身就使得这个方向失去了它的内在魅力。

现代几何学研究得更多的是关于李群，例如群 ，与齐性空间，例如复射影直线 ，以及其上李群的可迁作用。

原文刊于《π 杂志》2017年1月号

莫比乌斯变换，视频来自Mathemaniac