此贴可以随意转载而不用注名出处。但也别说是你写的就行。 在读此文之前,读者应该知道什么是行主,列主矩阵,写过简单的HLSL或者ASM SHADER 读者知道简单的矩阵运算规则 本文主要内容有: 一、部分背景内容 二、HLSL中的row-major matrix picking and column-major matrix picking 三、MUL规则 四、观察矩阵的另类解释和TBN空间的类推 五、HLSL中矩阵的构造(为什么WorldToTargentSpaceMatrix要左乘LightDir)
一、部分背景 既然是HLSL中的指令,那我们的所有标准就以D3D而来。换句话说,矩阵以如下方式存储 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 典型的世界矩阵如下 C1 C2 C3 C4 R1 1 0 0 0 R2 0 1 0 0 R3 0 0 1 0 R4 20 20 20 1 这就是传说中的行主矩阵(row-major matrix) 注:这里只说它的存储方式,而不管他的运算符操作方法。 对于一个这样的矩阵,我们给一个行向量(row vector) V(X,Y,Z,W) 那么,V*M为如下结果 X = X*11+Y*21+Z*31+W*41 (1) Y = X*12+Y*22+Z*32+W*42 (2) Z = X*13+Y*23+Z*33+W*43 (3) W = X*14+Y*24+Z*34+W*44 (4) 看到上面的1,2,3,4四个运算,我们很自然想到了向量点乘(Dot Product)我们把三维向量的点乘简称dp3,四维的则叫dp4 那么有 dp3(V1,V2)= V1.x*V2.x+V1.y*V2.y+V1.z*V2.z dp4(V1,V2)= V1.x*V2.x+V1.y*V2.y+V1.z*V2.z+V1.w*V2.w 于是,我们的向量V乘矩阵M就可以表示为 V.X = dp4(V,M[C1]); V.Y = dp4(V,M[C2]); V.Z = dp4(V,M[C3]); V.W = dp4(V,M[C4]); 说了这么多,好像不是在说MUL指令,但其实这个MUL指令息息相关。 首先来看看Mul(x,y)指令的最基本的信息。 当X为向量时,X被视为行向量。 当Y为向量时,Y被视为列向量。 大家都知道,在HLSL中,如果我们采用Effect::SetMatrix进行矩阵的设置时,我们就可以采用如Mul(inPos,matWorldViewProj)来计算。 而如果是用普通的SetVertexConstantF等来设置矩阵数据的话,就需要用Mul(matWorldViewProj,inPos)来计算,或者用 Mul(inPos,matWorldViewProjTranspose)。 我想许多人都明白,那是因为在用SetMatrix时,HLSL会将矩阵进行转置,进而成为一个列矩阵。自然,采用SetMatrix与不采用SetMatrix就不一样了。 可是,我们之前不是说了么,行向量乘以行主矩阵才是 向量在左边呀, 但现在一个是行向量,一个是列矩阵。 怎么就绕不过来了呢。 其实很容易绕过来,要知道MUL是我们(或者说叫他们)自己定义的,怎么实现难道还非得按照标准的线性代数规则来安排位置不成。用HLSL写过SHADER的人都应该清楚下面这段代码的含义。 float4x4 matViewProjection; float4 vs_main(float4 Position : POSITION0) : POSITION0 { return mul( Input.Position, matViewProjection ); } //其对应的汇编代码如下 // matViewProjection c0 4 // vs_2_0 dcl_position v0 dp4 oPos.x, v0, c0 dp4 oPos.y, v0, c1 dp4 oPos.z, v0, c2 dp4 oPos.w, v0, c3 是不是觉得dp4很亲切呢。对了,就是它。 这意思就是说,我们的c0,c1,c2,c3存放着我们先前讲到的C1 C2 C3 C4。 这就是我们的背景内容,到此结束。 下面将展开一系列的为什么。 而如下的HLSL代码 float4x4 matViewProjection; float4 vs_main(float4 Position : POSITION0) : POSITION0 { return mul(matViewProjection,Input.Position ); } 对应的ASM SHADER如下 mul r0, v0.y, c1 mad r0, c0, v0.x, r0 mad r0, c2, v0.z, r0 mad oPos, c3, v0.w, r0 由此可以看出 此时的C0-C3存放的是一个行矩阵。在此仅为证明 mul(向量,矩阵) 与 mul(矩阵,向量)不是一个东西。 二、HLSL中的row-major matrix picking and column-major matrix picking HLSL在将矩阵赋值给常量寄存器的时候。有两种方式,一种是每个常量寄存器存放一行的数据,另一种是每个常量寄存器存放着一列的数据。默认是按列选取(column-major matrix picking)。 假设有一个矩阵M,其存放位置是从C0寄存器开始。 那么如果我们按行选取(row-major picking)则有 C0 = 11 12 13 14 C1 = 21 22 23 24 C2 = 31 32 33 34 C3 = 41 42 43 44 如果我们按列选取(col-major picking)则有 C0 = 11 21 31 41 C1 = 21 22 32 42 C2 = 31 32 33 43 C3 = 41 42 43 44 三、MUL规则 有了上面的的了解,我们就可以很容易地知道,MUL到底用什么。当然是取决于这两种选取规则。下面我们就逐一讨论。 在此依然要声明一下, 我们程序中的矩阵是按D3D标准存放。 1、采用SetMatrix, 采用按列选取(col-major picking) 在这样的方式下,若我们将C0-C3按如下排开 C0 C1 C2 C3 则它是一个转入矩阵的转置矩阵。即Cx为先前矩阵的x列 而由我们先前提到的MUL(向量,矩阵)的ASM代码可以得出。 这正是我们想要的。 dp4 oPos.x, v0, c0 dp4 oPos.y, v0, c1 dp4 oPos.z, v0, c2 dp4 oPos.w, v0, c3 于是,在这种方式下,我们采用的是MUL(向量,矩阵) 2、采用SetMatrix,采用按列选取(row-major picking) 在这样的方式下,我们得到的和设置前的矩阵一样。 由此看来,我们得到的矩阵与按行存储的矩阵刚刚是一个转置。 既然是这样,那大家回忆一下矩阵运算法则 A*B ó BT*AT 这里若A*B对应的是Mul(向量,矩阵). 其中A为行向量即1Xn的矩阵,矩阵为nXm 那么Mul(矩阵,向量)则真好对应了上面的公式。 注:当向量作为第二个参数是,是一个列向量,即n X 1矩阵 所以,在这种方式下我们采用的是Mul(矩阵,向量) 3、不采用SetMatrix,采用按列选择。 在这样的方式下,相对于一方按,得到的矩阵和2方案相同。 4、不采用SetMatrix,采用按行选择.得到的矩阵和1方案相同。 四、观察矩阵的另类解释和TBN空间的类推 在D3D SDK文档中有一份这样的公式。讲述的是 D3DXMatrixLookAtLH函数生成的东西。(这是一个左手观察系,采用D3D的行矩阵方式存储) zaxis = normal(At - Eye) xaxis = normal(cross(Up, zaxis)) yaxis = cross(zaxis, xaxis) C1 C2 C3 C4 R1 xaxis.x yaxis.x zaxis.x 0 R2 xaxis.y yaxis.y zaxis.y 0 R3 xaxis.z yaxis.z zaxis.z 0 R4 -dot(xaxis, eye) -dot(yaxis, eye) -dot(zaxis, eye) l 计算机图形学书上也讲了如何推导这个矩阵。但貌似依然没有给出为什么这样写就构成了观察矩阵了。 首先明白观察矩阵的目的是:将一个世界空间的坐标转换到观察坐系中。 即将一个由X,Y,Z轴构成的世界空间的坐标点调整到由摄相机的 上向量、观察方向、右向量的空间中。 在这里,摄相机的右向量(上向量与观察方向的叉乘)等同于世界坐标系中的X轴。 上向量等同于Y轴,观察方向等同于Z轴。 然后,我们试着拿一个点与这个矩阵相乘。 V0*matView 按背景知识中讲到的,我们得到的一个点V1是。 V1.x = V0.x·matView[C1] V2.y = V0.y·matView[C2] V3.z = V0.z·matView[C3] V4.w = V0.w·matView[C4] 上面式子中 ·表示dp4 在中学的时候我们就学过,点乘表示一个向量在另一个向量上的投影。好吧,我们要的就是这东西。 上面的图中(图太丑了,见笑) AD即为AC在AB上的投影。 而-dot(xaxis, eye) -dot(yaxis, eye) -dot(zaxis, eye) 则是因为摄相机并不在原点,而我们在做投影变换的时候,以原点为观察参考点会简化很多工作。所以我们的顶点要先把自己移回原点才行。而移的多少,正好是原点到摄相机的位置构成的一个向量在自己各个轴上的投影。 于是,我们可以知道,乘以观察矩阵, 就相当于是把一个点以原点为起点,自己为终点,构造一个向量,然后求出自己在由摄相机的各个轴构上的投影。最后再根据摄相机位置移回原点的过程。 由于我基本上不会画图,所以大家看起来有些吃力了。请各位见谅。 但这并不是什么复杂的事情,只要用上点乘是投影的这个理念,自然就想明白了。 而我们模型中的T B N信息。按以下方式构造出来的矩阵,则刚好是由模型空间到切线空间的转换。 Tx Bx Nx Ty By Ny Tz Bz Nz 五、HLSL中矩阵的构造(为什么WorldToTargentSpaceMatrix要左乘LightDir) 在我们的NormalMapping等需要转换到切线空间的映射中,常常看到这样的代码 Float3x3 matWorldToTargent = {WorldT,WorldB,WorldN}; 又或者 Float3x3 matWorldToTargent; matWorldToTargent[0] = WorldT; matWorldToTargent[1] = WorldB; matWorldToTargent[2] = WorldN; //float3 LightDir; LightDirInTS = mul(matWorldToTargent,LightDir); 我也看到网上许多人问这个问题,并且我先前也不是懂。 因为看到的HLSL代码中,并没有出现row-major matrix picking和column-major matrix picking转换的代码,也就是说,默认为column-major matrix picking。 当然会想到,我们构造出来的矩阵,其对应的寄存器值正好是 Cx = WorldT; Cx+1 = WorldB; Cx+2 = WroldN; 所以,它刚好是 Tx Bx Nx Ty By Ny Tz Bz Nz 的转置, Tx Ty Tz Bx By Bz Nx Ny Nz 应该用LightDirInTS = mul(LightDir,matWorldToTargent);才对。 显然,我们被眼睛深深的欺骗了。 请看如下代码 float4x4 mat; mat[0] = float4(1,2,3,4); mat[1] = float4(5,6,7,8); mat[2] = float4(9,10,11,12); mat[3] = float4(13,14,15,16); mul(mat,inPos); 对应的是 def c4, 1, 2, 3, 4 def c5, 5, 6, 7, 8 def c6, 9, 10, 11, 12 def c7, 13, 14, 15, 16 而若将指令改为mul(inPos,mat); 那么常量存放的值为 def c4, 1, 5, 9, 13 def c5, 2, 6, 10, 14 def c6, 3, 7, 11, 15 def c7, 4, 8, 12, 16 并且,上面的数据与HLSL中的矩阵数据picking方式无关。而对矩阵的操作,则都为dp4 pos,cx,也就是说对于mul(inPos,mat);的情况,相当于是将其转置,再进行dp4操作。 而对于mul(mat,inPos);则是直接进行dp4操作。 而按我们想要的,则第一种情况才满足条件。 第二种是因为优化导致的先转置再dp4,与前面提到的不转置进行类似于下面的操作是一样的。 mul r0, v0.y, c1 mad r0, c0, v0.x, r0 mad r0, c2, v0.z, r0 mad oPos, c3, v0.w, r0 若我们认定HLSL中构造矩阵是一个常量寄存器装一个mat[i]。即第一种情况。 那么此时想当于得到的是未经转置的矩阵,我们则认为,T B N在构造后,形成的是一个 Tx Ty Tz Bx By Bz Nx Ny Nz mul(mat,inPos);刚好满足要求。 若我们认定HLSL中构造矩阵的时候,一个常量寄存器不是装一个mat[i] 面是将构造他的float4的各个分量分别存。 即第二种情况。那么得到的便是 Tx Bx Nx Ty By Ny Tz Bz Nz 我们想要它实现转换,则必须转置。 而由A*B ó BT*AT ,可知,mul(mat,inPos)即为所求。 |
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