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数学思想与数学方法选讲 山东教育学院 李玉琪 （2009.10） 国家教育部2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：要使学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》指出：要“使学生理解数学概念、结论的逐步形成过程，体会隐涵在其中的数学思想方法。”即将颁布的《义务教育数学课程标准（修改稿）》又进一步指出：“要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。” 人们做任何事情，都要在宏观上讲究策略，在微观上讲究方法。策略与方法不当常事倍功半，策略与方法得当则事半功倍。在数学研究与数学学习中，这种宏观上的策略称为数学思想，微观上的方法就是数学方法，二者合称数学思想方法。在数学学习中，由于数学思想和方法是知识向能力转化的中介和桥梁，对于发展学生的能力特别是创造性思维能力具有十分重要的作用，因而数学思想方法成为数学教学的重要内容，成为近20几年来高考与中考数学命题的重点。 我们国家对数学思想与方法的深入研究开始于上个世纪80年代。1986年在东北师范大学解恩泽教授的组织下，建立了“全国数学思想方法研究协会”，1988年在著名数学家徐立治先生的倡导下，建立了“全国数学方法论研究中心”。我因为在这之前发表过几篇有关数学思想方法研究的论文，因而应邀成为这两个组织的发起人之一，参与了两个学派的学术研究，并主编出版了四部数学方法论的著作。审视这两个学派的研究内容，他们的区别在于：以解恩泽为首的“全国数学思想方法研究协会”主要从数学的外部和宏观的角度，研究数学思想和数学发现发明的规律，以及数学人才成长的规律，是宏观的数学方法论；以徐立治为首的“全国数学方法论研究中心”主要从数学内部和微观的角度，研究每种数学方法的产生与发展规律，以及数学方法的作用，是微观的数学方法论。 由于我同时参与了这两个学派的研究，因而今天我的报告将在两种数学方法论的结合上，即宏观与微观的结合上展开。报告共分五部分——数学思想与数学方法，重要的数学思想，数学中的逻辑方法，数学问题解决方法，构建数学理论的方法。我将尽量减少纯理论的阐（chan）述，而主要结合中学数学教学的实际说明问题。限于时间，今天我仅对前三个问题——数学思想与数学方法、初中数学中的重要数学思想、数学中的逻辑方法作简单介绍。
一、数学思想与数学方法 从根本上说，数学科学的全部内容，是由数学问题、数学理论知识（简称数学知识）、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。 ⒈ 数学问题 所谓“数学问题”，是指数学中需要明晰、需要研究、需要解决的疑难问题。 1900年，著名数学家希尔伯特（20世纪最伟大的数学家，1943年去世）在巴黎国际数学家代表大会上作了题为《数学问题》的演讲，对数学问题的作用和人类20世纪面临的数学问题进行了全面的论述。此后，数学问题在数学研究和数学发展中的重要作用受到了人们的广泛重视。希尔伯特在这次大会的演讲中指出： “数学问题对于一般数学进展的深远意义以及对于研究者个人工作的重要作用是不可否认的。能在一门科学分支中提出大量的问题，该门科学就充满生命力；而问题的缺乏则预示着这门科学发展的终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新的方法，产生新的观点，达到更为广阔自由的境界。” 希尔伯特的精辟论述说明：数学问题既是数学发现的起点，又是数学发展的路标；对数学发展既有探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；既能导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造性和进取精神。因此，数学问题被人们形象地称为数学的“心脏”。 ⒉ 数学知识 一切数学的概念、原理、法则以及数学语言、数学符号，统称为数学理论知识，简称数学知识。数学知识是人们在研究数学理论问题与实践问题的过程中，逐渐形成的关于客观事物的数量关系与空间形式的基本认识，是客观事物的内部规律在人们头脑中的反映。在数学科学中，每个数学分支都把该研究领域中有关的数学知识用逻辑方法（主要是公理化方法）组织起来，构成相应的理论体系。通常人们看到的，正是这种数学理论知识的体系。因此，各个数学分支都是由不同的数学知识构建起来的。形象地说，数学知识是数学的“躯体”。 3．数学方法 数学方法是人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的具体步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决目的的途径和手段的总和。从本质上说，数学方法是人们对客观事物的内在联系的能动的反映。在西方语言中，“方法”一词源于希腊文 ，意指沿着某条道路行进，因而在“方法”的本意上，数学方法是解决数学问题的手段和操作的总和，具有“行为规则”的意义。 ⒋ 数学思想 修改版的《数学课程标准》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。 从认识论来看，数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识，是数学知识与数学方法经过高度抽象、概括、提炼上升而形成的数学观点，属于对数学规律的理性认识的范畴。 从科学方法论的角度看，数学本身就是认识世界和改造世界的一种方法，数学思想具有方法和工具的作用。 从哲学的高度看，数学思想本质上是辩证法的基本观点在数学科学中的体现，是思维方法与实践方法的概括，属于哲学思维方法的范畴。例如，数学中的转化思想（即化归思想），是辩证法关于事物“互相联系”与“运动发展”的基本观点的反映，是“世界上一切事物都是互相联系、互相作用”与“事物不断发展变化”的基本观点在数学中的具体运用，是“在普遍联系和发展变化中把握事物”的哲学思维方法的具体化。又如，数形结合思想实质上是辩证法中的矛盾分析法，反映了“数”与“形”这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化。 ⒌ 数学问题、数学知识、数学方法、数学思想的关系 数学问题、数学知识、数学方法、数学思想是相互影响、互相联系、协同发展的辩证统一体，它们的相互作用和相互结合不仅使数学成为一个有机的整体，而且推动着数学的不断发展。 纵观数学的发展历史可以看到，人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了不同的数学方法。在这些数学方法发生的同时，相应的数学知识也相伴形成。在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如，寻求“高次代数方程求根公式”的问题源于16世纪，在其后的300年中曾有不少著名数学家为之不懈地奋斗，但直到19世纪法国数学家伽罗华创立了“群论”的思想方法以后才使这一“向人类智慧挑战”的问题得到了彻底的解决。其间，为了解决代数方程根的数目问题，他引入了复数法，不仅由此创立了代数基本定理，而且建立了“群论”的理论。又如，著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型方法的光辉范例。 综上所述，数学问题是数学生命之源泉，数学思想与方法分别是问题解决的宏观策略与微观的技术手段，数学知识则是认识的结果。就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。
二、重要的数学思想 在即将颁布的修改版的《数学课程标准》中，涉及的数学思想有“归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等”。对此学术界颇有争议，因为其中的归纳、演绎、抽象都是典型的逻辑方法，模型方法则属于数学研究方法。当然，对于数学思想的内涵，需要进行更为深入的研究，老师们都可以参与探讨。从数学方法论的角度考察，初中数学中的数学思想主要是符号思想（字母代数思想）、转化思想（化归思想）、特殊化与一般化思想、数形结合思想、分类思想、方程与函数思想等。 （一）符号思想（用字母代替数字的思想） 引入符号表示数字，也就是用字母代替数字，是代数学的基本思想。从数学史进行考察，算术与代数本来是数学中最基础、最古老的两个分支学科。就他们的关系来说，算术是代数的基础，代数则是由算术演进而来的，是算术的必然发展。在数学发展的过程中，正是用字母代替数字这种符号思想的产生，促进了算术向代数的演进。 1．算术解题法的局限性 我们知道，算术的主要内容是自然数、分数、小数的性质与运算，但算术解题法有很大的局限性。这种局限性主要表现在算术只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许抽象的和未知的数参与运算。许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助于这种方法求解的。算术解题法的关键是正确列出算式，即通过加、减、乘、除等运算符号把有关的已知数据连接成一个算式，建立起能够反映实际问题本质特征的数学模型。 应当说，对于那些只具有简单数量关系的实际问题，运用算术方法列出相应的算式并不难。但是，对于大量的具有复杂数量关系的实际问题，要列出相应的算式就不容易了，因为往往需要很高的技巧。对于那些含有几个或多个未知数的实际问题，要建立起只包含已知数的算式来求解，则常常是不可能的。 算术解题法的这种局限性，大大限制了数学的应用，也影响了数学自身的发展。在这种情况下，一种新的数学思想——以字母代替数字的思想（即符号思想）诞生了，由此不仅把算术推进到了代数，促进了数学的发展，而且大大拓宽了数学应用的范围。 2．符号思想的优越性 传统初中代数的内容，是初等代数。初等代数的基本方法，是用抽象的字母a，b，c…和x，y，z…分别表示抽象的数和未知的数，再依据问题的条件组成包含已知数（具体数字或字母）和未知数（字母）的代数式，并按题中的等量关系列出方程，然后通过解方程求出未知数的值。因此，初等代数的中心内容是解方程。由此可以看出，符号思想是初等代数的基本思想，是从算术过渡到代数的桥梁。 初等代数与算术的根本区别，在于代数允许未知数参与运算，算术则把未知数排斥在运算之外。如果说在算术中有时也出现未知数的话，那么只能把这个未知数单独地放在等号的左边，所有的已知数则在右边进行运算，未知数并没有参加运算的权力。而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着未知数与已知数具有同等的地位，未知数不仅可以成为运算的对象，而且能够依照法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，把已知数置于另一边。从这种意义上看，算术运算是代数运算的特殊情况，代数运算则是算术运算的发展与推广。 由于引入了符号思想，即用字母代替数字的思想，代数运算较之算术运算有了更大的普遍性和灵活性，极大地扩展了数学的应用范围。许多用算术方法无法解决的问题，在代数中都能轻而易举地得到解决。不仅如此，符号思想的出现对整个数学的发展也产生了巨大而深刻的影响，数学中许多的重大发现都与符号思想有关。例如，利用数学符号解决一元二次方程的求根问题导致了虚数的发现，利用数学符号对五次以上方程求解的研究导致了群论的诞生等。正因为如此，人们把符号思想的诞生看作是数学思想发生第一次重大转折的标志。 符号思想（用字母代替数字的思想）到底有哪些优越性呢？最突出的是以下两点： 第一，用字母表示数字能够简明地反映事物的本质特征和规律。例如：长6米、宽3米的长方形地面的面积为6×3＝18（平方米）；长24厘米、宽17.5厘米的铁片的面积为24×17.5＝420（平方厘米）。上述两个问题的一般规律是：“长方形的面积等于长与宽的积”。利用符号思想，这个规律可以简明地表示为S＝ab . 又如，由3＋5＝5＋3，1.8＋2.6＝2.6＋8等算式，可以概括出加法的交换律：“两个数相加，交换加数的位置，其和不变”。用a，b分别表示两个加数，则加法交换律可以简明地表示为a＋b＝b＋a. 第二，用字母表示数具有辩证性。这里有两层含义：首先，用字母表示的数具有任意性，可以是任意的数；其次，用字母表示的数具有确定性，可以表示任意一个确定的、具体的数。例如，在S＝ab中，a与b可以是任意正数，S也表示任意正数；但对于一个具体的长方形来说，a与b的值又是确定的、具体的数，将a与b的值带入后就能计算出S的具体的值。又如，代数式x＋3表示比任意数x大3的数，而当x＝5时，x＋3仅仅表示8这一个数。 由于符号思想的这种优越性，使得许多复杂的算术问题有了简单的代数解法。 例1 计算：（1）（ ＋ ）· ； （2） . 解 （1）设A＝ ， B＝ ， C＝ ， 原式＝（A＋ ）· ＝ · ＝1； （2） 设m＝2009，则 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 例2 比较下面两个数的大小： A＝ ， B＝ . 解 设 ， 则 A＝ , B＝ ， ∵ A－B＝ － ＝ ＝ ＞0， ∴ A＞B. 由例1与例2可以看出，深刻领会符号思想，灵活运用以字母代替数字的方法，对于数学研究与数学学习都是十分重要的。 （二）转化思想（化归思想） 转化是初等数学中最基本的思想方法，在数学学习中有着广泛的应用，对此先从一个具体例子谈起。 例3 解方程： － ＝1. 解 设 ＝u， ① ＝v, ② 则有 解得 u＝2， v＝1. 代入①或②得 , ∴ =0， ＝ ，检验可知， 与 都是原方程的解。 在例3中，运用换元法把较为复杂的无理方程转化为较简单的一元二次方程求解，运用了转化的思想。 运用一定的方法，把一个生疏的、复杂的、难以解决的数学问题化为熟悉的、简单的、能够解决的数学问题，这种解决问题的策略就是转化思想。很明显，化生为熟、化繁为简、化未知为已知是转化的基本方向。 转化是众多数学家典型的思维方式。匈牙利数学家罗莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中论及数学家研究问题的策略时，指出：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。”另一位匈牙利著名数学家G·波利亚在谈到面临的问题时指出：“这是什么类型的问题？它与某个已知问题有关吗？它像某个已知问题吗？有一个同样类型的未知量的问题（特别是过去解过的问题）吗？你知道一个相关的问题吗？你能知道或设想出一个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的问题吗？”由上面的介绍可以看出，对于数学研究、数学学习和数学问题解决来说，转化不仅是一种重要的思想和意识，而且是一种重要的思维方法和策略。 唯物辩证法指出，客观事物是发展变化的，不同事物间存在着种种联系，各种矛盾无不在一定的条件下互相转化。转化思想正是人们对这种联系和转化的一种能动的反映。从哲学的高度看，转化思想着眼于揭示矛盾实现转化，它的“运动—转化—解决矛盾”的基本思想具有深刻的辩证性质。 例4 已知a，b，c均为实数，若a＋b＋c≠0，且 ＝－3， 求 的值。 分析 把已知等式直接进行化简，显然很难求出 的值，因而必须寻求其他方法。注意到已知等式的左边的三个括号均与所求的代数式 有关系，为了化未知为已知，必须先建立起未知与已知的联系，故设 x＝ ，这样已知等式就化为 ， 展开，即有 ， ① 从而把求代数式 的值的问题转化为解一元一次方程①的问题，由于 ，显然有 ，即 ＝0. 例5 解方程组 分析 由于已知方程组含有三个未知数，却只有两个方程，因而用常规方法难以求解。为减少未知数的个数，先把 看作常量，即作变量的常量化处理，原方程组就转化为
由韦达定理可知，x，y是一元二次方程 的二根。至此，求解原方程组的问题已经转化为研究一元二次方程的根的问题了。由于x，y都是实数，故有 Δ 即 但显然又有 ，于是得到 ＝0，从而 Δ＝0，由此推出 t＝1， x＝y＝1. ∴ 原方程的解是x＝1，y＝1，z＝0. 例6 如图1，在圆锥中，底面直径AB＝20cm，PA＝30cm.一只蚂蚁从点A出发，在侧面上绕行一周又回到点A，求蚂蚁所走的最短路程。
分析 因为蚂蚁是在圆锥的侧面上爬行，画出圆锥的侧面展开图，如图2所示，就可以把这个空间图形问题转化为平面图形问题进行研究。 解 沿PA把圆锥的侧面展开、铺平，得到圆锥的侧面展开图，如图2所示。在圆锥中， 与 是重合的。显然，蚂蚁从点P出发绕圆锥的侧面爬行一周又回到点A，其最短线路为图2中的线段 . 由AB＝20cm可知，圆锥的底面半径 OA＝10（cm）； 由扇形的弧长公式，得 ＝ ＝ ＝120°， ∴ ＝ ＝ ＝ . 作 ,垂足为点C ，在Rt△PAC中，PC＝ PA＝15， AC＝ ＝ ＝15 ， ∴ ＝2AC＝30 ≈51.9（㎝）。 所以，蚂蚁所走的最短路程为51.9㎝。 转化思想在初中数学中应用非常广泛。例如，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，把方式方程转化为整式方程求解，把一元二次方程转化为一元一次方程求解，通过添加辅助线把空间图形问题转化为平面图形进行研究，把复杂的几何图形转化为三角形或四边形进行研究等等，都运用了转化思想。建议大家研究下面的问题，并分析在解决问题的过程中转化思想所起的作用： （1）解方程： ； （2）方程 的一个解是 ， ，求实数x，y 的值。 （3）设x是实数，若 ，求代数式 的值。 （4）在梯形ABCD中，AD与BC分别是上底和下底，两条对角线 互相垂直。已知AC＝12，BD＝9，求该梯形的中位线的长。 （三）特殊化思想与一般化思想 从特殊到一般和从一般到特殊，是人们正确认识客观事物的认识规律，也是处理数学问题重要的思想方法。一方面，事物的特殊性包含着普遍性，即共性寓于个性之中，相对于“一般”而言，“特殊”的事物往往更简单、更直观、更具体，因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，“一般”概括了特殊，“一般”比“特殊”更为深刻地反映着事物的本质，因而人们常常以对事物的共同本质的认识（即一般认识）为指导，去研究个别的和特殊的事物。所以，在数学研究和数学学习中，有时抽取待解问题的某个特殊情形，由此得出一般性结论，这是特殊化思想；有时把待解问题作为特殊情况，研究更为广泛的一般性问题，从而得出待解问题的结论，这是一般化思想。 ⒈ 特殊化思想 把原问题转化为其特殊形式，通过对特殊形式的研究寻求原问题的答案或解决办法，就是特殊化思想。具体来说，在研究一个较大范畴的问题遇到困难时，可以把这个范畴缩小到比较特殊的情况，通过对这个特殊情况的研究，发现原问题的答案或解决问题的思路，这就是特殊化思想。 作为一种重要的数学思想，特殊化是解决复杂问题的有力手段。这是因为：从逻辑学的角度看，概念或命题的特殊化导致其外延的缩小，这时内涵增大，可供使用的条件增加，研究就比较容易；从认识论的角度看，复杂问题特殊化以后，认识起点降低，便于人们由浅入深地认识和分析问题；从方法论的角度看，特殊化使问题由抽象变具体、由复杂变简单，从而有利于问题的解决。 在数学问题解决中，特殊化的具体途径主要有四种：第一，由条件画出图形，便于从几何直观中受到启迪；第二，用具体数字代替抽象字母、用具体函数代替抽象函数、用有限代替无限，使抽象问题具体化；第三，暂时固定或舍弃某些限制条件，便于在较为理想的状态下研究问题；第四，一般状态取特殊位置、运动问题取静止状态，以便化繁为简，发现规律。 例7 若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列代数式的值中最大的是： （A） ； （B） ； （C） ； （D） . 分析 用常规方法作差可以比较各个代数式的大小，但这种方法显然很繁琐。运用特殊化思想，取满足已知关系的一组特殊值进行探索，例如取 ， ， ，这时（A）（B）（C）（D）的值分别为14，13，13，11，故应选（A）。 例8 若m，n为不相等的正数，则下列代数式 甲＝ ； 乙＝ ； 丙＝ 中，其值最大的是 （A）甲； （B）乙； （C）丙； （D）不确定。 分析 直接比较甲、乙、丙的大小并不容易，可以运用特殊化的思想。注意到选择支中有一项为“不确定”，因而必须选择m，n的几组特殊值进行探索。 取 ， ，这时甲、乙、丙的值分别是5， ， ，此时甲最大；再取 ， ，这时甲、乙、丙的值分别是 ， ， ，此时丙最大。至此可以断定，本题应选（D）。 例9 能否将n（n≥2）个正方形拼接成一个大正方形？ 分析 解决这个问题显然有较大的难度。 （1）运用特殊化思想，先考虑n＝2的情况，即有两个正方形，这时又有两个正方形边长相等与不相等两种情况。 如图3，设两个正方形的边长相等，这时以他们的对角线为边长的正方形PQRS就是由这两个正方形拼接而成的大正方形。
如图4，设两个正方形的边长不相等，即 ， ，其中 ，这时两个正方形的面积分别是 和 ，而以 为边的正方形 的面积是 ，因而正方形 就是由这两个小正方形拼接而成的大正方形。 （2）再考虑n＞2的情况，这时给定的正方形S1，S2，S3,……SN的个数超过2 ，可以运用（1）的方法，先把S1，S2拼接成一个正方形S12,再把正方形S12与S3拼接成正方形S123 ，依此类推。 由（1）（2）可知，n（n≥2）个正方形能拼接成一个大正方形。 2．一般化 所谓一般化，就是把所给的问题作为特殊形式，将其转化为一般形式去考察，通过对一般形式的研究寻求解决原问题的方法，这就是一般化思想。具体来说，当研究一个较小范畴的问题遇到困难时，可以把这个范畴扩大到包括这个小范畴的更大的范畴，从而得到一个新的带有一般性的问题，原问题只是它的一种特殊情况。如果新问题得到解决，原问题自然就迎刃而解了，这就是一般化。 一般化也是一种重要的数学思想，在数学发展史上许多数学理论都经历了从特殊到一般的发展过程，在数学学习及问题解决中一般化也有着独特的作用。实际上，许多问题从一般化入手更容易解决。这是因为，数学中不少问题已经有了固定的解决方法和既定的程序，当待解问题能够用一般化方法归结为这种问题时，这个问题就得到了解决；另外，孤立地考察原问题，往往由于局部的限制难以发现解决的途径，而把问题做一般化处理后，就便于从普遍的联系中发现规律和解题思路，从而使原问题得到解决。 例10 计算： … . 分析 这是复杂的计算题，为了化简其通项，先作一般化处理。由 ， 得到 ， 于是 … ＝ ＝ . 例11 不进行开方运算，比较 与 的大小。 分析 题目要求不进行开方运算，比较这两个数大小的关键是找到有效的解题思路。运用一般化思想，对题目中的两个具体数作一般化处理。注意到 ， ， 因而只需比较 与 的大小，其中x＞0，y＞0，且x≠y. 为了简化运算，不妨设 ， ，其中a＞0，b＞0,且a≠b.这样，就只需比较 与 的大小即可。由于 － ＝ ＝ ＞0， 因而有 ＞ ，即有 ＞ ， 从而有 ＞ ， ∴ ＞ . 例10与例11都运用了一般化思想，把问题转化为一般形式去考 察。通过对一般形式的研究，使原问题得到了解决，在例10中还发现了 ＞ 这一新的结论。由此看出，在运用一般化思想的过程中，常常可以获得新的知识。 建议大家用特殊化或一般化思想解决下面的问题，并分析特殊化或一般化思想在问题解决中的作用。 （1）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，EF∥AD， ： ＝ ： ，求证： （取自原人教版三年制初中几何第二册）。 （2）证明：正三角形内任一点到各边的距离之和为定值，并把上述结论进行推广。
（四）数形结合思想 数学以现实世界的数量关系（简称“数”）与空间形式（简称“形”）作为其研究对象，而任何事物都有“数”与“形”两个侧面，它们互相联系，可以互相转化。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系问题转化为图形性质进行研究，或者把图形性质问题转化为数量关系去研究，这种思维策略就是数形结合。 我国著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分割万事休。”数形结合不仅是数学研究中一种重要的思维策略，也是解决数学问题的一种基本思想。 综观数学的发展史，数与形的结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了鲜明的直观性，从而开拓出新的研究方向。例如，著名数学家笛卡尔通过数形结合使几何问题转化为代数问题，把长期分道扬镳的代数与几何结合起来，开辟了数学发展的新纪元。不仅由此创立的解析几何成为数学发展史上不朽的里程碑，他的研究也是运用数形结合思想方法的光辉范例。在现代数学中，人们常常把一个函数看作一个“点”，把一类函数的全体看作一个“空间”，由此引出了无穷维函数空间的概念。这样，求一个微分方程组解的问题，就转化为求相应函数空间中一个几何变换的不动点问题，从而使得抽象的分析问题获得了直观的几何意义。 在初等数学中，数形结合的思想应用十分广泛。在具体应用时，数形结合又有三种基本形式，这就是以形辅数、以数辅形和坐标法。 例12 如果方程 的一个根小于3，另一个大于3 ，求实数m的取值范围。 分析 如果仅从问题的数量关系进行考察，不仅需要解不等式组
其中x1与x2是方程 的两个根，而且要结合
进行研究，才能确定出实数m的范围，这种方法显然比较繁琐。 解 设 ，由已知条件可以画出函数图像的草图（如图5所示）。
由于方程 的两个根一个小于3，另一个大于3 ，故有 ，即得 ， 从而m＞14， ∴ m的取值范围是m＞14. 例13 求 的最小值。 分析 这是较复杂的无理函数的极值问题。若记 、 、 ，则由 的两边之和不小于第三边（Ｐ、Ａ、Ｂ三点可以共线），得
其中，等号在Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线时成立， ∴ 的最小值是 . 在例12与例13中，运用了“以形辅数”的数形结合思想。 例14 如图6，正方形纸片ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，当点B落在AC上点F处时，求折痕AE的长（精确到0.01）。
分析 这个问题中给出了许多图形性质方面的条件，但仅仅从图形的方面考察，很难找出其中的联系。如果运用数形结合思想，则可以设BE＝x，通过寻求问题中的数量关系而得到关于x的方程，从而解决问题。 解 设BE＝x，则由△ABE≌△AFE可知 ， . 在正方形ABCD中，因为AC是一条对角线， ∴ , 从而 . 于是有 ， . 由 BE＋CE＝1，得 ， 解这个方程，得 ≈0.414，即 0.414 在Rt△ABE中， ， ∴ AE≈1.08 . 在例14中，运用了“以数辅形”的数形结合思想。 例15 如图7，△OAB是一块三角形形状的木版，∠AOB＝90o， OA＝6㎝，OB＝4㎝，在边AB上求一点P，作PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别是C，D，使得矩形OCPD的面积为最大，并求面积的最大值。
图形的性质进行考察，或者单纯由 问题的数量关系进行考察，都很难 确定点P的位置。如果采用坐标法， 设P（x，y），则确定点P的位置问 题，就转化为求x与y的值的计算问题了。 解 建立如图7所示的坐标系，则A（6，0），B（0，4）。 由于直线AB过点B，因而可设其函数表达式为 ， 将点A的坐标（6，0）代入 ，得到 ， 所以，直线AB的函数表达式为 . 设点P（x，y），则矩形OCPD的面积为 , ∴ 当 时，S取得最大值6. 此时， ， AP＝ , ∴ 当AP＝ ㎝时，即当点P为AB的中点时，矩形OCPD的面积为最大，最大值为6㎝2. 数形结合是数学中十分重要的思想方法，其基本点在于把问题涉及的数（数量关系）与形（空间形式）结合起来考察。根据不同问题的不同特点，或者采用以数辅形，把图形性质问题转化为数量关系问题来研究，或者采用以形辅数，把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，或者运用坐标法，把图形的性质与数量关系作综合考察，从而把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，达到化难为易的目的。 （五）分类思想 当面临的数学问题不能以统一的形式进行解决时，可以把已知条件涉及的范围分解为若干子集，在各个子集内分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解答，这就是分类思想。 在初等数学中，研究解方程问题、不等式问题、函数单调性问题等，分类思想是一种行之有效的思想方法。运用分类讨论解决问题时，把已知条件涉及的集合进行科学的划分是十分必要的，必须遵循划分的规则，防止划分中的重复与遗漏。 例16 解方程 . 解 在原方程中显然有 ，于是原方程化为
下面进行分类讨论： （1）当 时方程无解； （2）当 时 ，由于应有 ，故舍去； （3）当 或 时 ，此为原方程的解。 ∴ 原方程仅在 或 时有解 . 一般来说，研究含有绝对值的方程都要运用分类思想。 例17 求函数 的图像与x轴的交点。 分析 由于已知函数可能是一次函数，也可能是二次函数，所以必须运用分类思想。 解 （1）当 ＝0时，即 时，已知函数为 ，这是一次函数，它的图像是一条直线，与x轴的交点为（1，0）； （2）当 ≠0 ，即 时，已知函数为二次函数，其图像是抛物线，其判别式为 ， 当 时， ，这时函数图像与x轴交点的纵坐标y应满足 ， 即 ， 解得 ，这时函数图图像与x轴的交点为（1，0）； 当 时， ＞0，由方程
得到 ， 从而有 ， ， 这时函数图像与x轴的交点为（1，0）与（ ，0）. ∴ 当 时，函数图像与x轴有唯一的交点（1，0）； 当 且 时，函数图像与x轴有（1，0）和（ ，0）两个不同的交点。 在例2中，首先按照 的值是否为0进行分类讨论，在（2）中又针对 和 两种情况进一步进行分类讨论，两次运用了分类思想。 一般来说，对于含有参数的方程的讨论，常常要运用分类思想。 例18 ⊙O的半径为5㎝，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝6㎝，CD＝8㎝㎝，求AB与CD的距离。
分析 如图8，符合题意的图形有（1）（2）两种，在这两种情况下问题的解法与答案是不同的，因而必须运用分类思想。 解 （1）如图8（1）所示，当弦AB，CD位于圆心O的同侧时，过点O作AB的垂线交AB于点E，交CD于点F，连接OB，OD . 由AB∥CD 和 OE⊥AB可知， OF⊥CD . 在Rt△OBE中， , , ∴ ； 在Rt△ODF中， , , ∴ ； ∴ . （2）如图8（2）所示，当弦AB，CD位于圆心O的两侧时，同理可以求得 , ,从而 . 由（1）（2）可知，AB与CD的距离为1㎝ 或7㎝。 应当指出，分类作为一种重要的数学思想，在数学研究和数学学习中具有重要的应用价值，因而应当树立分类的意识，把握分类的规则，灵活运用分类的方法。但是，运用分类思想有时会导致解题过程的繁琐化。为了克服分类的这种局限性，对于蕴涵着分类因素的数学问题，应当首先作一番深入的考察，根据题目条件的特征灵活选用一定的解题策略，尽量简化或避开分类讨论。 请大家研究下面的问题： （1）解不等式： ＞1. （2）在△ABC中，AB＝27，AC＝24，BC＝18，M为BC上的 一点，MB＝6. 过点M作一条直线与边AB或AC相交，使得到的小三角形与△ABC相似，求它们的相似比。 （3）在一张长为17㎝、宽为16㎝上，的长方形纸片上，剪下 一个腰长为10㎝的等腰三角形。已知等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点分别在长方形的两个边上，求剪下的等腰三角形的面积。你会剪下这个三角形吗？怎样确定这个三角形的顶点？
（六）方程与函数思想 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。在初中数学中，最重要的数量关系是等量关系，刻画等量关系的最重要的工具是“方程”。函数也是刻画现实世界中量与量之间数量关系的重要工具，在初等数学与高等数学中具有极其重要的地位。 运用方程与函数的观点、方法、知识去思考问题，把待解问题转化为方程问题或函数问题，就是方程思想与函数思想，简称方程函数思想。许多数学问题和实际问题都可以运用方程函数思想来解决。 例19 如图9，图①是一个三角形，顺次连接这个三角形三边的中点，得到图②，再顺次连接图②的小三角形三边的中点，得到图③，依照这种方法继续做下去。第8个图形中有多少个三角形？
解 以各个图形的序号为自变量x，以各个图形中三角形的个数为因变量y，列表：
在直角坐标系中分别描点（1，1），（2，5），（3，9），并将这些点平滑地连接起来（图略），发现这是一条直线。 设这条直线的函数表达式为 ，将点（1，1），（2，5）的坐标分别带入 ，得到 ， . 于是得 ，将点（3，9）的坐标带入 ，发现点（3，9）的坐标适合函数关系式 .所以，这条直线的函数表达式为 . 将 带入 ，得到 ，所以第6个图形中有29个三角形。 在例19的解法中，运用了函数思想。我们首先引入了函数，然后运用一次函数的知识解决了问题。 例20 如图10，在矩形ABCD中，AB＝6㎝，BC＝3㎝，动点P从点A出发，沿着AB边以1㎝/s的速度向点B移动；动点Q从点B出发，沿着BC边以2㎝/s的速度向点C移动。移动时，点P，Q分别从点A，B同时出发。 （1）P，B，Q三点能构成等腰三角形吗？ （2）几秒钟后P，Q两点间的距离为 ㎝？
解 （1）假设经过t秒钟后P，B，Q三点能构成等腰三角形，由于∠B＝90°，因而PB＝BQ .由 ， ，得到 ， 解得 . 这时， ＝4，与已知BC＝3矛盾， ∴ P，B，Q三点不能构成等腰三角形。 （2）假设经过t秒钟后P，Q两点的距离为 ㎝，则 ， ， 由勾股定理，得到 , 即有 ， 解得 ， （不合题意，舍去）。 ∴ 经过0.4秒后，P，Q两点的距离为 ㎝。 在例10的解法中，运用了方程思想。我们首先引入了变量t,然后在（1）（2）两个问题中，分别列出了方程 和 ， 通过解方程得到了问题的答案。 建议大家研究下列问题： （1）有些国家用摄氏温度表示气温，有些国家用华氏温度表示气温。已知摄氏温度与华氏温度之间存在着如下的对应关系：
已知某天甲地的最高气温是8℃，乙地的最高气温是910F，这一 天乙地的最高气温比甲地的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？ （2）某工程队要招聘甲、乙两工种的工人共150人，其中乙工种的人数不少于甲工种人数的2倍。如果甲、乙两工种工人的月工资分别为600元和1000元，那么甲、乙两工种各招收多少人时，可以使每月所付的工资总额最少？ （3）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝ ，求边BC的长。
三、数学中的逻辑方法 （一）数学活动的基本方法——抽象法 1．数学抽象的特点 人类是通过抽象获得对自然界的认识的。列宁指出：“认识是人对自然界的反映。但是，这并不是简单的、直接的、完全的反映，而是一系列的反映过程，即概念、规律的构成与形成过程。”作为一门科学，数学是对客观世界的空间形式和数量关系进行抽象的产物，数学中的一切理论都是抽象的结果。抽象、逐级抽象、高度抽象是数学的基本特征。因此，抽象是数学活动最基本的方法。 “抽象”一词，源自拉丁文，原意是排除、抽出。所谓抽象，一般指科学的抽象，是指透过事物的现象，深入事物的里层，把事物的本质抽取出来。 与一般的科学抽象相比，数学中的抽象方法有着自身的特点： （1）内容的特殊性——数学抽象仅抽取事物的量的关系和空间形式而舍弃其他。任何客观事物都具有质和量两个方面，质是一种事物区别于其他事物的内部规定性，量是指事物的规模、存在方式及发展速度等。质的问题构成了各门科学特定的研究对象，例如物理性质是物理学研究的对象，化学性质是化学已经研究的对象。量的问题构成了数学的研究对象。从历史的角度看，“数”和“形”曾经是“量”的最基本的内容。正因为如此，恩格斯指出：“纯数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。”由此可见，数学抽象完全舍弃了事物的质的内容，仅仅保留数量关系和空间形式方面的内容，因而量化和形式化是数学抽象的重要特征。 （2）方法的特殊性——数学抽象是一种构造性活动。数学抽象不仅是借助于定义、推理等逻辑方法进行的，而且要把事物的本质属性用数学概念和原理固定下来。因此，数学抽象是一种建构活动，不仅各种数学对象、数学概念、数学原理、数学符号、数学方法都是数学抽象的结果，而且运用数学知识解决实际问题的过程都是运用数学抽象构建和研究数学模型的过程。 例如，“有5个人，每人有3本书，共有15本书”；“某人每小时行3公里，5小时共行15公里”是两个实际问题，舍弃人、书、路程等具体内容，抽象出数量关系这个本质特征，就得到3×5＝15，这就是数学抽象。又如，从宇宙中的星星、空中的一粒尘埃、大海中的一滴水等许多具体事物中，舍弃质的特点，抽取出“只有位置、大小可以忽略不计”的几何中“点”的概念，也是数学抽象的结果。可见，用定义和推理的方法进行、并把事物的量的方面的本质属性用数学概念、原理、符号等固定下来，是数学抽象的重要特征。 2．数学抽象的步骤 （1）分离。暂时不考虑所研究的对象与其他事物的联系，把研究对象作单独考察； （2）提纯。排除研究对象外部的、现象的、偶然的因素，通过对研究对象的各种属性的分析，发现和抽取内在的、本质的、必然的属性； （3）概括。对已经抽取的事物的属性作简化和形式化处理，使得其表达方式更为明确和简洁，更能反映事物的本质。 3．数学抽象的主要方式 （1）理想化抽象。所谓理想化抽象，是指在纯粹理想的状态下，对事物作简单化和完善化处理的数学抽象。这种抽象，撇开事物质的方面的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物一般的、共同的、本质的属性，在理想状态下抽取事物的本质属性。例如，几何中的点、线、面的概念都是理想化抽象的结果。在现实世界中，根本找不到没有长、宽、高的“点”，也找不到没有宽度和厚度的“线”，同样找不到没有厚度的“面”。但是，几何中的点、线、面却具有现实中各种点、线、面的共同属性，因而是对客观事物更深刻、更准确、更全面的反映。 例21 六人集会问题。证明：在任何6人的集会上，至少有3人彼此相识或不相识。 分析 因为题目中的6个人既无国籍、肤色等限定，也无身高、年龄、性别等区分，因而可以用理想化方法把他们抽象为6个不同的点A，B，C，D，E，F；把彼此相识或不相识的关系抽象为连接这两个点的线段，用实线表示相识，用虚线表示不相识。这样，问题就化为“证明：在以点A，B，C，D，E，F为顶点的三角形中，必存在一个实线三角形或虚线三角形。”这就是用理想化方法为本题构建的数学模型。 如图11所示，在五条线段AB，AC，AD，AE，AF中，由抽屉原理，显然至少有3条同为实线段或同为虚线段，不妨设AB，AC，AD同为实线段。 下面考察△BCD ，如果线段BC，CD，DB都是虚线段，则△BCD为虚线三角形，这时要证明的结论成立。如果线段BC，CD，DB中至少有一条为实线段，不妨设BC为实线段，这时△ ABC为实线三角形，于是要证明的结论成立。
例22 桌面上有n只杯子（n为奇数），全部倒放着。每次翻动n－1只杯子，经过有限次翻动后，能否使所有的杯子全部口朝上？ 分析 这是生活中的问题，可以通过理想化抽象，构建该问题的数学模型。把一只杯子杯口朝下记做1，杯口朝上记做－1。则问题的初始状态为 。每次翻动n－1只杯子，即乘以 ，翻动m次即乘以［ ］m. n只杯子全部杯口朝上，这个状态为 . 于是，问题转化为：若 n为奇数，等式 ·［ ］m＝ 是否成立？ 因为左边的值为1 ，右边的值为－1 ，等式不可能成立。这说明，经过有限次翻动，不能使所有杯子全部口朝上。 （2）可能性抽象。所谓可能性抽象，是指在研究问题的过程中，拟抽象出来的概念无法确定其是否存在。这时，先假定其存在，由此建立起一定的数学理论，然后在实践中检验这种理论的合理性，从而确立或否定这个数学概念。一般来说，当拟抽象的数学概念虽然远远脱离了现实事物，但理论上有着存在的可能性时，往往先假定它的存在，产生某种概念，这种方法叫做可能性抽象或存在性抽象。例如，无理数、负数、虚数、自然数集无限伸展等，这些概念都是用可能性抽象的方法建立起来的。在数学问题解决中，也常常用到可能性抽象。 例23 证明： ＝1 分析 用可能性抽象方法。从理论上看，实数 与 是必然存在的，故设 ， 然后，运用数学推理求x的值。两边立方得 ， 整理得 ， 即有 ， 由于 ＞0， 所以 ，从而有 ＝1. （3）弱抽象与强抽象。由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人们认识事物的基本规律。这个规律应用在数学中，就是弱抽象与强抽象。 所谓弱抽象，就是舍弃研究对象的一些特征或属性，而保留某一特征或属性，形成更为普遍、更为一般的事物的抽象方法。对数学概念进行弱抽象，其内涵逐渐减少，外延逐渐增大，就得到更具普遍性的新概念；对数学原理进行弱抽象，逐渐减少对条件的限制，就得到范围更普遍、更一般的新的原理。 例如，对“矩形”概念进行弱抽象：舍弃“内角是直角”的属性，仅保留“对边互相平行”的属性，就得到了“平行四边形”这个更广泛的新概念，矩形则成为平行四边形概念的特例。又如，对于乘法公式 ，开始阶段学生仅知道式中的a，b是实数或单项式，后来逐步认识到a，b也可以是多项式以至任何代数式，这个认识过程也是一种弱抽象过程，是从特殊到一般的认识过程。 与弱抽象相反，强抽象是从一般到特殊的认识过程。所谓强抽象，是指强化研究对象的一些特征或属性，即增加一些特征或属性，从而得到范围较小、较特殊的对象的抽象方法。对数学概念进行强抽象，增加其内涵，减少其外延，就得到作为原概念特例的一种新概念；对数学原理进行强抽象，加强对条件的限制，就得到原命题的一个特殊命题。 例如，在二项式定理的展开式
中，n是任意自然数。如果运用强抽象，分别令 和 ，则得到 和 ， 这两个公式都是二项式展开式的特例，是两个范围较小的命题。 由前面的例子可以看出，在数学概念序列和原理序列中，弱抽象是由特殊概念和特殊原理过渡到一般概念和一般原理的重要方法，强抽象则是由一般概念和一般原理过渡到特殊概念和特殊原理的重要方法。 （二）数学推理方法 与物理学、化学、生物学等实验科学不同，数学是一门演绎科学，推理是数学中最重要、最经常的活动。数学中的推理方法，主要有基本推理方法、合情推理方法、逻辑推理方法等三类。作为数学推理的基本方法，主要是分析法与综合法。 1．数学基本推理方法——分析法与综合法 分析法与综合法都是逻辑思维的基本方法。分析法着眼于从细部揭示事物的本质、了解事物的内部规律；综合法着眼于从总体上把握事物的本质与规律。 （1）分析法。所谓分析法，是把研究对象在思维中分解为各个组成部分、方面、层次、因素，分别加以考察，从而认识事物各方面的本质和属性的方法。分析法的思维方向是“化整为零”。例如，人们在研究平行四边形的性质时，总是分别研究它的边的性质、角的性质、对角线的性质；在研究方程时，总是先把它分解为代数方程和超越方程，再把代数方程分解为有理方程和无理方程，把有理方程分解为整式方程和分式方程，把整式方程分解为一元一次方程、一元二次方程……，把超越方程分解为指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等，然后逐一进行考察和研究，从而认识各种方程的概念、特点和解法，这里运用的方法就是分析法。 把事物的各个部分从总体中分离出来作单独研究，着眼于各部分的性质，这是分析法的基本特征。运用分析法，不仅有助于深入事物的内部，把握事物的内部结构和内部规律，也有助于排除表面现象，了解事物的本质属性和内在联系。正因为如此，分析法在数学中有着广泛的应用。 数学中的分析法，又有追溯（su）型分析法（即执果索因的方法）、构造型分析法、前进型分析法、混合型分析法等多种不同形式。 例24 设 ,求证： . 证明 先用分析法。记 ＝ ； ＝ . 则由 ＞0， ＞0， 可知｛ ｝与｛ ｝都是递增数列。 再用综合法。由 ， ＜ ＝ ， 可知 ≥ ， 从而得到 . 例25 设有关于x的二次函数 ，其中a，b，c分别是△ABC的三边的长，证明这个函数的图像与x轴不相交。 证明 用追溯型分析法。欲证抛物线
与x轴不相交，只需证明其判别式小于0，即只需证 ＜0， 只需证明 ＜0， 由于 ＞0， 因而只需证明 ＜0， 即只需证明 b＋c＞0，而这是显然成立的。 （2）综合法。所谓综合法，是把研究对象的各个部分、方面、层次、因素联结起来作整体研究，从而从总体上把握事物的本质与规律的一种方法。 例如，在分别研究了正数、零、负数等有理数和无理数的概念、性质和运算法则之后，把这些数综合到一起作为实数同一进行考察，发现在实数范围内不仅可以做代数运算，而且具有交换律、结合律、分配律等运算性质，也发现实数不仅具有连续性，而且具有顺序性，可以比较大小，从而形成了对实数本质的认识。这里运用的方法就是综合法。又如，在做平面几何的证明题时，人们总是对各个已知条件分别进行研究，考察由这些条件可以分别得出什么结果，然后寻找它们之间的内在联系，研究怎样综合各种条件导出要证明的结论，这后一个过程运用的方法就是综合法。 一般来说，运用综合法需要经过两个步骤：第一，在分析法的基础上，通过比较找出事物各部分属性之间的内在联系；第二，把这种内在联系概括上升为对事物本质属性的整体认识。 例26 如图12 ，在△ABC中， P为三角形内一点， PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，∠ABP＝∠ACP，F为BC的中点。求证：DF＝EF. 分析 应用分析法，先把题目“化整为零”，对本题已知与结论的各要素进行考察。 （1）由PD⊥AB，PE⊥AC的条件，可知△BPD与△CEP都是直角三角形，由此可以导出勾股定理、斜边上的中线等于斜边的一半等许多性质； （2）由∠ABP＝∠ACP，可以导出∠DPB＝∠EPC等有关角的关系； （3）由F为BC的中点可以想到，如果还有其他中点，就可以应用三角形的中位线定理； （4）要证明DF＝EF，可以利用全等三角形或等腰三角形，现在图中没有这样的三角形，能添加辅助线吗？
上面是分析的大致过程，运用了分析法。下面转而用综合法，先寻找各要素的内在联系： （5）分别取线段PC与PB的中点M，N，连接MD，MF，NE，NF，这恰与（3） 有关； （6）要证明DF＝EF，可以利用△BPD与△CEP。已经有 , ；在△PBC中，就有 ， ,从而有 , ； 在△MDF和△NFE中，已有两组对应边相等，要证明它们全等，只需证明∠DMF＝∠FNE. 由于MF∥CD，NF∥BE，因而四边形PMFN是平行四边形，就有∠PMF＝∠PNF，只需再证明∠DMP＝∠EPN，而这恰与（2）有关。 2．合情推理方法——归纳法与类比法 数学中的推理有两类：一类是必真推理，或者叫做必然推理、理论推理、逻辑推理，另一类是似真推理，或者叫做或然推理、经验推理、合情推理。前一种推理是依据形式逻辑的法则进行的，主要用于数学证明；后一种推理是依据人们的经验进行的，主要用于数学发现。归纳法与演绎法就是合情推理的主要形式。 （1）归纳法。归纳法是通过对特殊对象的研究，得出关于全体对象的一般性结论的方法。按照所考察的对象是否完全，可以把归纳法划分为两种形式，这就是完全归纳法与不完全归纳法。通常所说的归纳法，主要指不完全归纳法。 不完全归纳法可以用来作出推测、提出猜想，因而属于创造性思维的范畴。不过，不完全归纳法推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察，而缺乏对全体对象的考察，因而所得的结论具有或然性，只能称之为归纳猜想，其正确与错误是需要严格论证的。 从哲学的角度看，归纳法的客观基础是事物的个性与共性的对立统一。一方面，个性中包含着共性，通过个性可以反映共性；另一方面，个性中有些反映了本质，有些则不反映本质，有些属性为全体所共有，有些属性则仅存于个别的对象之中。这就决定了从个性概括出来的结论不一定是事物的共性，也不一定反映了事物的本质。因此，用归纳法进行的推理属于似真推理，不仅不能作为数学中严格论证的方法，而且其归纳猜想的正误也需要进一步作出判断。例如，法国数学家费尔马注意到 , , ， , 都是素数，于是在1664年提出归纳猜想：“ 为素数”。半个世纪后，欧拉发现
并不是素数，于是费尔马猜想被否定。 归纳法在数学研究中有发现知识和探索真理的作用。归纳法是依据少量经验事实，而作出关于普遍规律的猜想或假设的思维形式，其中含有丰富的想象和直觉判断。众所周知，想象和直觉判断属于创造性思维的范畴，因而归纳法具有发现新知识和探索真理的创造性功能，成为数学发现的重要方法之一。例如，凸多面体的笛卡儿——欧拉公式
就是运用归纳法发现的。对此，只要观察表1中几种多面体的面数 、顶点数 与棱数 的关系，就不难得出结论。 表1
又如，1840年英国的弗南希斯.格里斯在对多幅地图着色时发现，无论多么复杂的地图，总可以用四种颜色区分出所有的国家和地区，于是便形成了“四色猜想”。这个猜想于1976年由美国的黑肯和阿佩尔借助于计算机给出了证明，于是上升为“四色定理”。纵观数学的发展史，可以看到许多数学定理和公式都是先由归纳法提出而后加以证明的，这充分显示了归纳法在数学发现、发明中的重要作用。 在数学教学中，归纳法同样是发现和扩充知识的常用方法。例如，在做完高中教材中的两个证明题
之后，引导学生运用归纳法就可以形成猜想
加以证明就成为数学公式，从而发现了新的知识。 不完全归纳法在数学学习中有预测答案、探索解题思路的作用。对于较复杂的问题，人们往往难以找到解题方法，甚至找不到解决问题的起点和问题的答案，这时归纳法常常可以发挥其独特的作用。 例27 化简
分析 由于所给代数式较为复杂，直接通分难以达到化简的目的。用归纳法实验： 当 1时，原式= 当 2时，原式= 当 3时，原式= = 于是得到归纳猜想 原式= 至此，人们已很容易想到可以用数学归纳法证明这个结果，问题便得到了解决。这里，归纳法显示出其探索解题思路和预测答案的作用。 （2）类比法。类比法是根据两个或两类对象某些属性的相同或相 似，而推出它们的某种其他属性也相同或相似的思维形式，也称为类比推理。类比法是以比较为基础的，在对两个或两类对象的属性进行比较时，若发现它们有较多的相同点或相似点，则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去。由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而作出有关另一个特殊属性的结论的，因此类比法是从特殊到特殊的推理。 例如，地球是太阳系的行星，地球上有空气，水和生物；火星也是太阳系的行星，火星上也有空气和水，于是人们推测火星上可能也有生物，这里的思维方法就是类比法。 类比推理的客观基础在于相似事物之间的同一性和稳定性，但任何两个相似事物之间不仅有同一性的一面，也必然存在差异性的一面。因而从两个或两类对象之间的某些属性的相同或相似，并不能必然地得出它们在其他方面也相同或相似的结论。一般来说，当类比推理的结论恰好是它们具有同一性的属性时，这个结论就是正确的；而当推出的结论恰是它们呈现差异性的属性时，就导致了结论的谬误，这是类比法的局限性。因此，与归纳法一样，类比推理的结论也具有或然性，只能称之为类比猜想，其正确或错误也是需要严格论证的。 运用类比法有助于科学的发现和发明。天文学家开普勒（1571—1630）说过：“我最珍视类比，它是我最可靠的老师”。数学家拉普拉斯（1749—1827）则进一步指出：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比”。古往今来，许多科学家都指出了类比方法在科学发现发明中的重要作用，我国数学家徐利治先生对此也给予了充分的肯定，他画出了框图（图13）
图13 应当说，类比法是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法。这是因为，类比法不象归纳法那样局限于同类事物，也不象演绎法那样受到一般原理的严格制约。运用类比法，不仅可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，而且既可以比较事物的本质属性，也可以比较非本质属性。同时，类比法比归纳法更富于想象，因而也就更具有创造性。事实上，人类在科学研究中建立的不少假说和数学中许多重要的定理、公式都是运用类比提出来的，工程技术中许多创造和发明也是在类比法的启迪下而获得的。因此，类比法已成为人类发现发明的重要工具。 例如，数学家伯努里（1654—1705）为解决级数
的求和问题曾经大伤脑筋，他甚至公开悬赏征答，但一直无人问津。直到18世纪上叶，才由欧拉（1707—1783）给出了结果
欧拉解决这一数学名题，就是运用了类比的方法。 类比法在数学问题解决中有启迪思路和触类旁通的作用。著名哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。”当人们面临一个比较生疏或比较复杂的数学问题时，往往寻找一个比较熟悉或比较简单的问题作为类比对象（类比源），它或者可以提供一种解决问题的方法模式，或者可以为问题解决提供一种思考的途径，从而有助于问题的解决。 例28 解方程 ＋ ＝ . 分析 已知方程是比较复杂的无理方程，用常规解法显然十分繁琐。注意到方程左边的两个根式互为倒数，右边的 可以写成 ，其中3与 也互为倒数，于是取方程 为类比源，这个方程的解显然为 ，或 ，由原方程得到 ＝3，或 ＝ ， 从而有 或 ， 解得 ， . 检验可知，它们都是原方程的根。 例29 解方程组
分析 显然，用代入法或加减法消元都比较繁琐，取方程组
作类比。由（④2－⑤）÷2得 ，由韦达定理可知，x，y是方程 的两个根，于是有 和 . 因为两个方程组的结构是类似的，因此可以按照这种思路求原方程的解。 解 由（①2－②）÷2得 ， 由（①3－③）÷3得 ， 从而有 ， 整理得 . 由韦达定理可知， 是方程 的三个根。由于这个方程的根是1，2，3，所以原方程有六组解
例30 若 的三边分别为 ，面积为 ，求证 ① 分析 此题的证明思路较难获得。从形式的相同上，可取 ② 与所证明的结论①进行类比。二者都是二次不等式，且方向相同，因为②式在 时恒成立，因此可以考虑把①式化为关于某一个字母变数的一元二次不等式，试证其判别式 。这里，类比法在启迪思路方面显然发挥了积极的作用。 证明
③ ③式显然是关于 的一元二次不等式，且
∴ ①式恒成立。 类比法在数学教学中可以作为发现命题与扩宽知识的方法。类比方法的客观基础在于事物系统与过程存在的普遍联系，以及这种联系的可比较性。例如，三角形与四面体虽然不是同样的事物，但可以进行科学类比，其原因在于这二者分别是最简单的多边形与最简单的多面体，他们都以数量最少的边界元素在平面内或空间中界定了一个区域。一般地，在数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限、连续与离散之间都可以通过类比作出预见和发现，从而为数学教学与数学发现开辟了广阔的空间，类比法因此成为数学教学中引导学生发现命题与扩宽知识的重要方法。 需要指出，在数学教学中不仅许多定理、公式和法则是可以引导学生用类比法先行提出猜想而后加以证明的，而且许多例题与习题也可以用类比的方法从中引出新的知识，这对于充分发挥教材的教育功能、以及巩固知识和发展学生的创造性思维能力都具有重要的意义。 3.逻辑推理的主要方法——三段论法（略）
四、数学问题解决的方法——数学模型方法（略） 五、建构数学理论的方法——公理化方法（略）
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