德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s Algorithm）绘制贝塞尔曲线

imelee 2015-12-25

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[原]德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s Algorithm）绘制贝塞尔曲线

2008-6-23阅读5167 评论2

引用：http://www.cs./~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/de-casteljau.html

德卡斯特里奥算法可以计算贝塞尔曲线上的点C(u)，u∈[0,1]。因此，通过给定一组u的值，便可以计算出贝塞尔曲线上的坐标序列，从而绘制出贝塞尔曲线。

德卡斯特里奥算法的基础就是在向量AB上选择一个点C，使得C分向量AB为u:1-u（也就是∣AC∣:∣AB∣= u）。给定点A、B的坐标以及u（u∈[0,1]）的值，点C的坐标便为：C = A + (B - A) * u = (1 - u) * A + B * u。

定义贝塞尔曲线的控制点P_i编号为0i，其中，0表示是第0次迭代。当第一、二、三……次迭代时，0将会被1、2、3……替换。

德卡斯特里奥算法的思想如下：为了计算n次贝塞尔曲线上的点C(u), u∈[0,1]，首先将控制点连接形成一条折线00-01-02……0(n - 1)-0n。利用上述方法，计算出折线中每条线段0j-0(j+1)上的一个点1j,使得点1j分该线段的比为u:1-u。然后在折线10-11-……-1(n-1)上递归调用该算法，以此类推。最终，求得最后一个点n0。德卡斯特里奥证明了，点n0一定是曲线上的点。

如上图，曲线控制点是00、01、02、03、04、05。线段00-01上取点10，10分该线段的比为u:1-u，类似地取点11、12、13、14，然后第二次迭代在线段10-11上取点20，点20分该线段的比为u:1-u，类似地取点21、22、23。然后进行下一次迭代，依次类推，直到最后在线段40-41上取点50，50是最终惟一的点，也是在曲线上的点。

上述直观的算法描述可以表达成一个计算方法。

首先，将所有给定的控制点排列成一列，在上图中，即为最左边的一列。每一对相邻的控制点可以伸出两个箭头，分别指向右下方和右上方。在相邻箭头的交叉处，生成一个新的控制点。例如，控制点ij和i(j +1)生成新的控制点(i + 1)j。指向右下方的箭头表示乘以(1 - u)，指向右上方的箭头表示乘以u。

因此，通过第0列，可以求出第1列，然后求出第2列……，最终，在n次迭代后，可以到达惟一的一个点n0，这个点就是曲线上的点。

该计算过程算法如下：

Input: array P[0:n] of n+1 points and real number u in [0,1] Output: point on curve, C(u) Working: point array Q[0:n] for i := 0 to n do

Q[i] := P[i]; // save input

for k := 1 to n do

for i := 0 to n - k do

Q[i] := (1 - u)Q[i] + u Q[i + 1];

return Q[0];

该计算方法可以推导出一个递归关系：

但是，直接通过递归方法计算P_i,j效率低下，其原因与通过递归方法计算斐波那契数列一样：递归方法有大量的重复计算。

德卡斯特里奥算法还有一个有趣的性质。对于同一列中的连续的一组控制点，对其应用德卡斯特里奥算法，那么由这些控制点确定的曲线上的点，就是以这组控制点为边的等边三角形中，与这些控制点相对的顶点。

例如：由控制点02、03、04、05确定的曲线上的，对应u的点是32，正如下图中蓝色的等边三角形所表示的。同样，控制点11、12、13确定的曲线上的，对应u的点是31，如图，黄色三角形所示。

根据上面所述，通过给定一组u值，便可以计算出贝塞尔曲线上的坐标序列，从而绘制出贝塞尔曲线。

// arrayCoordinate为控制点

void CChildView::DrawBezier(CDC *pDC, const CArray<CPoint, CPoint>& arrayCoordinate)

{

	int n = 0;

	if((n = arrayCoordinate.GetSize()) < 2)

		return;



	double *xarray = new double[n - 1];

	double *yarray = new double[n - 1];



	double x = arrayCoordinate.GetAt(0).x;

	double y = arrayCoordinate.GetAt(0).y;



	for(double t = 0.0; t <=1; t += 0.05 / n) // 调整参数t,计算贝塞尔曲线上的点的坐标,t即为上述u

	{

		for(int i = 1; i < n; ++i)

		{

			for(int j = 0; j < n - i; ++j)

			{

				if(i == 1) // i==1时,第一次迭代,由已知控制点计算

				{

					xarray[j] = arrayCoordinate.GetAt(j).x * (1 - t) + arrayCoordinate[j + 1].x * t;

					yarray[j] = arrayCoordinate.GetAt(j).y * (1 - t) + arrayCoordinate[j + 1].y * t;

					continue;

				}



				// i != 1时,通过上一次迭代的结果计算

				xarray[j] = xarray[j] * (1 - t) + xarray[j + 1] * t;

				yarray[j] = yarray[j] * (1 - t) + yarray[j + 1] * t;

			}

		}



		pDC->MoveTo(x, y);

		pDC->LineTo(xarray[0], yarray[0]);

		x = xarray[0];

		y = yarray[0];

	}



	delete [] xarray;

	delete [] yarray;

}