讨论 线性 时不变 的系统, 我讨论这个问题的意义在于, 1 从另外的角度认识 极点零点,而不是局限于RC乘积,-3dB带宽,45度相移,或者前馈产生零点,诸如此类 2 了解一点状态空间的知识对于这种认识会有些帮助,这部分内容一般在 信号与系统 类教材的 最后几章,会涉及到一些矩阵运算。 3 希望斑竹加精,赚点儿信元,下载文献
言归正传 极点 极点是什么? 本质上它是微分方程的特征根,是微分方程组对应的伴随矩阵(也称作友矩阵 Companion Matrix)的 特征值。 数学上:常系数线性微分方程 -> 特征多项式 -> Companion Matrix -> 特征多项式的根 就是 Companion Matrix 的特征值 ,也是系统的极点。 这些点的位置 决定着系统的最根本的特性。 插一句题外话,高次多项式的求根,一般都是通过求其Companion Matrix 的特征值来完成的。
思路:电路-> 微分方程->特征根 -> 系统极点 电路-> 状态变量空间 -> 微分方程组 -> 矩阵特征值 -> 系统极点 电路-> 器件拉氏变换模型 -> 传递函数 -> 使得函数趋于inf的那些根 -> 系统极点
拉氏变换,其实是通过积分变换,跳过了微分方程的建立和求解,这种方法某种程度上不利于极点的理解。 下面只描述一下 前两个思路, 每一个线性时不变系统,都会对应一个微分方程(组)。简单起见,以二阶系统为例,f为输入,y为输出,f 和 x 都是t的函数 “齐次”是指方程中每一项关于未知函数x及其导数y',y'',……的次数都是相等的
y''+by'+cy=gf''+hf'+pf 极点只于其齐次方程有关,齐次方程为 y''+by'+cy=0 对应的微分方程组为,令y=x2,y'=x1 x1'=x2 x2'=-cx1-bx2 矩阵形式 x'=Ax x=[x1 x2]'; A=[0 1;-c -b];此矩阵采用matlab的输入格式。 对于RLC的电路系统,通过状态变量的定义,可以得到这样的方程。对于高阶系统,同样可以得到类似的形式。 定义一个矩阵P,和新变量v,有如下关系存在x=Pv 那么可以得到 (Pv)'=A (Pv) -> v'=inv(P)APv。 如果inv(P)AP 刚好是一个对角阵,那么v可以直接求解,于是x也可以求解了。
注:在数学上,如果利用指数矩阵,可以有更加简洁有效的计算方法,但原理是一致的。 系统的极点,就是对角阵inv(P)AP的元素,也就是 A的特征值。而P的每一列,对应A的特征向量。 矩阵的特征向量是什么,当一个矩阵左乘一个列向量后,其得到的新向量如果方向不变,那么这个向量就特征向量,这是在万千向量中挑选出来的。 举个例子,如果照镜子是一个线性变换,那么与镜面垂直 和 与镜面平行的 向量 ,都是特征向量,与镜面垂直的特征向量 特征值是-1,与镜面平行的特征向量 特征值是+1。 说到这里,再插一句, 信号与系统中, 当激励是幅度为1的复指数信号exp(jwt)时,它的输出是什么?当然也是负指数信号 y(t)=H(jw)*exp(jwt) 这个表达式很漂亮,既有时域也有频域,一个表达式连接了时域和频域。 从另一个角度来看,把系统看做一个线性操作T,那么有如下的表述 T(exp(jwt)) = H(jw)*exp(jwt) 类比 T(x)=lamda*x exp(jwt)也可以理解为一种广义的特征向量,角频率w就是其方向特征,频率变化,方向就变化。那么特征值是啥?H(jw)就是特征值。可以说线性系统中 传递函数是特征值的集合, exp(jwt)是特征向量向量的集合。
好的,转回到极点的概念,没啥好说的了,其数学本质是微分方程的特征根,是微分方程组对应的伴随矩阵(也称作友矩阵 Companion Matrix)的 特征值。 从物理上看,可以近似的认为是某个节点电阻电容的乘积,很多情况下这种认识只是一种直观的近似的理解。
再说零点 零点 从系统函数,或微分方程组的角度来看,零点无非是多个输入时的一种自然的结果。 零点可以理解为是使传输函数等于0的点,是分子的根。 从数学上说,当微分方程等号右边存在激励函数的导数时,一般会有零点。 y''+by'+cy=gf''+hf'+pf 积分是什么?是一种记忆,记忆在一定程度上就意味着相位的滞后。 如地球上最热的时候不在夏至,而在夏至后一个月左右,这类似于一个电容的充电过程。 导数是什么?是一种预判,预判实际上就意味着相位的超前。如pll的阶跃响应,都存在一个过冲,无论开环PM多大。 存在零点的系统,即使它的极点都在左半平面的实轴上,它的阶跃响应仍然可能存在过冲,为什么?预判过头了呗。
我对零点的分类通常是分为三种 1 jw轴上的零点 2 实轴上的零点 3 非轴上的零点(不讨论)
第一种
jw轴上的零点,是真实的"零点",具有陷波的作用。 如 ---||----与 ----ssss----并联时 导纳为 (sC+1/sL) = (LCs^2+1)/sL。在1/sqrt(LC)的频率上,其导纳为零,相当于导线断路,信号无法通过。 这种并联,某种程度上可以理解为两路信号相加。
第二种 左侧实轴上的零点,其实是伪零点 ---||----与 ----xxxx----并联时 导纳为 (sC+g) 。在复的频率-g/C上,其导纳为零。可以认为如果输入信号是exp(-t*g/C),那么这个信号是无法通过的。 这种并联,某种程度上也可以理解为两路信号相加,只是对于cos(wt)和sin(wt)这样的信号,永远都不会叠加为0。 通常右侧实轴的零点是 有源电路产生的。
零点的意义通常体现在反馈系统中,用于相位补偿。 关于相位补偿,不再赘述。
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