特征值与特征向量

一 定义

    假设矩阵A为n*n方阵，x为n*1向量，则y=Ax表示矩阵A对向量x的线性变换结果，由于A为n*n方阵，则y为n*1向量。对大多数x进行线性变换，得到向量y与原向量x一般都不共线，只有少数向量x满足 ，其中  被称为矩阵A的特征值，x 被称为矩阵A的特征向量。

    为了求解特征值  与特征向量 x,  对上式改写为 ，则特征向量在 零空间中，通过选取一定特征值使得矩阵  为奇异矩阵，即 。根据矩阵行列式计算公式，得到关于  的n次方程，然后根据计算出的特征值，通过寻找矩阵  的零空间计算特征向量。

    在求解特征值时，有两个定理可以简化计算：

     1），矩阵A的特征值之和等于矩阵A的迹；

      2），矩阵A的特征值之积等于矩阵A的行列式值；

    在求解  时，可能出现特征值 重复情况，这可能导致特征向量 x 不足，这样后面的分析也无法继续。特征值重复并不一定导致特征向量不足，如单位矩阵I，虽然其特征值都为1，但有n个不同的特征向量。

    针对各个元素均为实数2*2情况，其特征值可能出现负数，如矩阵 特征值为 i 和 -i。通过观察，如果矩阵A为对称矩阵，其特征值为实数；如果矩阵A为反对称矩阵，其特征值为一对共轭虚数。也就是说矩阵越接近对称矩阵，其特征值越有可能为实数。

 

二 矩阵对角化

    假设矩阵A为n*n方阵，矩阵A有n个线性独立的特征向量 ，构成特征向量矩阵，其对应的特征值为 ，构成特征值矩阵，则矩阵A可被对角化分解，其公式为：，推导如下：

    ，。

    如果已知，则有 ，这表明矩阵 的特征值为矩阵A的对应特征值的平方，矩阵 与矩阵A有相同的特征向量。以上推导也可以通过矩阵对角化公式得到：。

    针对A的任意整数次幂，可对角化为：，这就提供了一个计算  的方法。

    如果矩阵A可逆，则有：，其逆矩阵与原矩阵有相同的特征向量和互为倒数的特征值。

 

三 应用（幂级数与微分方程）

    1 Fibonacci序列

     Fibonacci定义为：，该表达式为二阶差分，可通过一些技巧变换为一阶差分：，。

     已知，可推导出 。如果矩阵A可对角化，对  可做如下变换：

      ，将 详细代入，则有 ，令 ，则 ，表明  由特征向量S按系数向量c线性组合得到。

      最终可被表示为：。

      通过以上推导，如果仅需要计算某个特定的  值，仅需使用公式  即可。使用  线性组合关系，可以通过特征值取值范围判断k趋近无穷大时其收敛状态；当所有特征值均满足， 趋近稳定状态，可表示为：（假设 ）或者  （假设所有特征值绝对值都小于1）。

      针对矩阵，计算特征值为 ，，特征向量为 ，。根据以上分析，当k逐渐变大时，有：。

    2 Markov矩阵

     Markov矩阵定义如下：

       1）矩阵所有元素均满足 ；

       2）矩阵每列元素和等于1；

     Markov矩阵具有如下性质：

       1） 为Markov矩阵的一个特征值；

       2）对应的特征向量 各个元素都为非负值；

       3）其他特征值满足 ；

       4）Markov矩阵的幂级数稳定状态为：。

       给出一个具体的Markov矩阵 ，假设  是该矩阵的一个特征值，则有 ，观察矩阵 为奇异矩阵， 处于矩阵  的零空间，则证明  为Markov矩阵的一个特征值。

       3 微分方程

        标量常微分方程：，u(0)已知，其解为：。

        矢量常微分方程：，矩阵A特征值与特征向量为：；类比标量常微分方程，其解表达为：

        ，代入微分方程中可证明解的正确性：

        ，约去  即证明等式成立。将解整理：

        ，，，，。

        观察以上微分方程解，当所有特征值均满足 ，u(t)收敛；当 ，u(t)发散。

 

参考资料：Linear Algebra And Its Applicaions    Gilbert Strang

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