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看似平常的砂纸把物体表面磨光其实还涉及统计问题。我们把物体表面分成许多小块来考虑。砂纸与物体每摩擦一次，物体的每一小块可能被每颗砂粒磨去一小部分，记为1，也可能没有被磨去，记为0，假设被磨去或没被磨去的可能性相等，经过两颗砂粒的摩擦，物体表面每一小块是否被磨去有以下四种可能： （0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），即被磨去0小部分、1小部分或2小部分，它们的可能性分别为1/4、1/2和1/4。经过三颗砂粒的摩擦，有8种可能：（0，0，0）、（0，0，1）、（0，1，0）、（0，1，1）、（1，0，0）、（1，0，1）、（1，1，0）、（1，1，1）即被磨去0小部分、1小部分、2小部分或3小部分，他们的可能性分别是1/8、3/8、3/8和1/8。 一般地，经过n颗砂粒的摩擦物体表面每一小块是否被磨去共有2^n种可能性，且每一种可能性是相同的。因为经一颗沙粒摩擦后，物体每一小块平均被磨去1/2小部分，经过n颗砂粒的摩擦，每一小块平均被磨去n/2小部分，从可能性的角度来讲，可以计算，每一小块被磨去n/2小部分左右的可能性最大。例如，当n=10时，每一小块被磨去4到6小部分的可能性是672/1024。当n=10000时，每一小块被磨去4900~5100小部分的可能性约是84%，被磨去4800~5200小部分的可能性约是99.54%。 由于一张实质上有许多砂粒，每当砂粒一步体表面摩擦时，物体表面每一小块已经经过了许多砂粒的摩擦，多次摩擦以后，n的值是非常大的，而每一小部分实际上是非常小的相差若干颗砂粒的摩擦，其差别可以忽略不计。因此，粗糙的砂纸能将物体磨光。 |
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