等价矩阵和相似矩阵的关系_数学_考研论坛（kaoyan.com）

等价矩阵和相似矩阵的关系：
问：
等价矩阵一定相似，还是相似矩阵一定等价 ？

一些回答：
　　个人认为。等价不一定相似。因为等价矩阵是矩阵通过初等变换过来的。比如A=E通过变换初等变换可以变成B=2E。所以A与B等价。但他们的特征值是不同的。所以不相似。但相似一定等价。至于怎么证明我暂时不知道。

　　矩阵等价的充要条件是他们的秩相等（这里要区别于向量组等价）而相似的充要条件是存在可逆矩阵P，使得p^(-1)AP=B，必要条件是r(A)=r(B),A的特征值和B相同

　　总的来说相似必合同，合同必等价
　　
个人认为相似可以推出等价，相似是等价的一种特殊情况

等价秩相等 合同正负惯性指数相同 相似特征值相等

　　所以 相似 推出合同 推出等价

　　相似必等价，等价未必相似

　　相似未必合同（只有当A,B均为实对称矩阵时相似才能推出合同），但相似必等价，等价未必相似。若A与B相似，由相似的定义P^(-1)AP=B,此时可令C=P^(-1),Q=P,则C,Q均可逆，即存在可逆矩阵C,Q使CAQ=B，由等价的定义知A与B等价。总结一下关系应该是这样的：对于矩阵A,B，相似和合同一定能推出等价；若A,B均为实对称矩阵则相似能推出合同；若A,B为实对称矩阵，且在正交变换下A与B合同则能推出相似。等价是限制最少的一种关系。