[基本功] T分布：温良宽厚

命名与源起

“t”，是伟大的Fisher为之取的名字。Fisher最早将这一分布命名为“Student's distribution”，并以“t”为之标记。

Student，则是William Sealy Gosset（戈塞特）的笔名。他当年在爱尔兰都柏林的一家酒厂工作，设计了一种后来被称为t检验的方法来评价酒的质量。因为行业机密，酒厂不允许他的工作内容外泄，所以当他后来将其发表到至今仍十分著名的一本杂志《Biometrika》时，就署了student的笔名。所以现在很多人知道student，知道t，却不知道Gosset。（相对而言，我们常说的正态分布，在国外更多的被称为高斯分布……高斯~泉下有知的话，说不定会打出V字手势~欧耶！）

看懂概率密度图

这一点对于初学者尤为重要，相信还是有不少人对正态分布或者t分布的曲线没有确切的理解。

首先，我们看一下频率分布直方图，histogram：

上图，最关键的就是横轴了，柱高，即，对于横轴上每一个点，发生的频次。图中横轴为4处，次数最多，大约12次；依次类推，横坐标为10处，发生1次……

我们做单变量的探索性数据分析，最喜欢做柱状图了，或者再额外绘制一条Density曲线于其上（见下图）。很容易就可以看出数据的分布（集中趋势、离散趋势），图中，数据大多集中在4左右（均数、众数），有一点点右偏态，但基本还是正态分布。

下图，手绘曲线，即密度曲线，英文全称Probability Density Function/Curve。实际上是对上面柱状图的一个平滑，但它的纵坐标变为了概率，区别于柱状图的频次。但理解起来意义差不多。

以下，我们就用Density曲线来讲解T分布的特征。

T分布的可视化

我们平常说的t分布，都是指小样本的分布。但其实正态分布，可以算作t分布的特例。也就是说，t分布，在大小样本中都是通用的。

之前有读者问过：“是不是样本量大于30或者大于50，就不能用t分布了呀”？

完全不是这样的！t分布，大小通吃！具体且看下文分解。

相对于正态分布，t分布额外多了一个参数，自由度。自由度 = n - 1。我们先看几个例子，主观感受一下t分布。

= 1 ：红色为t分布；蓝色为正态分布。

= 2 ：红色 = 2，高于 = 1 的绿色，低于正态分布。

= 3 ：红色 = 3，高于 = 1，2 的绿色，低于正态分布。

= 10 ：红色 = 10，高于 = 1~9的绿色，低于正态分布。

可见，随着样本量n / 自由度的增加，t分布越来越接近正态分布。正态分布，可以看做只是t分布的一个特例而已。

以上部分大家大概都学过的，相信大多数读者都会了解。但这里，让我们回到我们的标题（不是标题党）：温良宽厚。

大家仔细比较一下下图。t分布（红色）虽然也是钟型曲线，但是中间较低、两侧尾巴却很高。

这就是t分布的优势！这个特征相当重要，百年来，t分布就指着这个特征活着的！

比较一下上图两条曲线，我用这样一个词，“宽厚”，来形容t分布曲线的特征。是不是比正态分布曲线更宽啊？是不是比正态分布曲线更厚呢？

大家都说重要的事要重复三遍，我们再重复一下，样本量越小（自由度越小），t分布的尾部越高。

尾部的高度，有十分重要的统计学意义。

我们来比较一下下图中的两条曲线。这两条曲线同样都是对图中底部6个黑色点（数值）进行分布拟合。

我们首先看一下那条矮的、正态分布的曲线。我们前面说过，正态分布的曲线不具备“宽厚”的特征。它的尾部很低，尾部与横轴之间高度很“狭窄”。也就是说，正态分布不能够容忍它长长的尾部出现大概率的事件（图中横轴值为15处一圆点出现概率为六分之一），所以正态分布就很无奈地，将这一点纳入它的胸膛而非留在尾部。于是乎，恶果就出现了：图中正态分布的均数，远远偏离了大多数点所在的位置，标准差也极大。总之，与我们所期待的很不一致。

再看一下那条高高的t分布曲线。我们前面说过了，t分布“温良宽厚”，它的尾巴很高（本图中不明显，参见上面自由度为1,2,3时所对应的图片），高高的长尾让它有“容人的雅量”。所以，这条t分布的曲线，很好的捕捉到了数据点的集中趋势（横坐标：0附近）和离散趋势（标准差：只是那条正态分布曲线标准差的四分之一）。

这也是T分布盛行的原因，即T分布被广泛应用于小样本假设检验的原因。虽然是很小的样本，但是，却强大到可以轻松的排除异常值的干扰，准确把握住数据的特征（集中趋势和离散趋势）！

准确捕捉变量的集中趋势和离散趋势在统计中有极为重要的意义，几句话难以说清，简单举几个栗子：

1. 研究样本量的估计量更小。熟悉样本量计算的朋友也知道，标准差是样本量计算的一个重要参数。上例中，我们t分布的标准差只是正态分布的四分之一，那么我们计算所需的样本量也会极大的减少（只需原来的16分之一），极大地降低研究经费和工作量！（关注“医学统计分析精粹”，回复关键词“样本量”，可以看到很handy的样本量计算工具哦！）

2. 我们缩小了标准差，熟悉假设检验（将在后续“看图说话”系列文章中出现）的朋友也不难看出，如此，我们更容易得到一个有意义的P值！
   

3. 点估计更准确。如果我们需要根据一个小样本数据来估计学生的平均身高。那么使用正态分布来拟合，很容易就受到离群异常值的影响而得到错误的估计。

4. 回归中应用t分布，可以得到更稳健的估计量（β值或OR值），这也是我们实现“稳健回归”的一个重要手段。
   

通过下面一幅图，我们巩固一下t分布的“宽厚”：

与正态分布曲线（矮胖）比较，t分布以其高高的尾部（本图中不明显，参见上面自由度为1,2,3时所对应的图片），容忍了在横轴为9处的异常值，得到了更稳健的集中趋势估计值（均值1.11）和更紧凑的离散趋势估计值（标准差差0.15，又是正态分布的四分之一）。要知道，我们如果单单想通过增加样本量来将标准误（假设检验中使用的参数，标准差除以自由度的平方根）缩减到四分之一，需要16倍的样本量！可见，t分布当真是威力无穷！

PS：上述两幅图中的t分布曲线并不是频率学派应用t分布的常规套路（更像是贝叶斯学派的用法）。细心者可以发现，我们使用的t分布的自由度明显低于n - 1的自由度计算方法。这里的自由度是根据最大似然法估计出来的，用以更恰当地拟合数据的分布。虽然这与我们平时的用法不同，但小编觉得，这一点点不同不仅无伤大雅，反而更有利于大家深入理解t分布的特征——温良宽厚。

掌握了T分布温良宽厚的特征，将会对本号后续介绍的假设检验和T检验有更深入透彻的理解，期待后续文章，记得关注小号呀！

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