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（以下转载自鲁晨光先生《漫谈投资组合的几何增值理论》一文中的一个小例子，后面是本人目前就期货中应用此一原理的一些粗浅的思考） 假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同； 出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注10 元。但是，如果连输10次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完假设下注的资金可以无限小； 第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的(1+0.2) ×(1-0.1)=1.08倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明，每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。 不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y=ax2+bx＋c。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹，它有一个最高点, 当水平距离x= - b/(2a) 时，高度y达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。 对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比 Rg随下注比例q的变化是 P1 P2 2 0.5 Rg=( 1 - q ) + ( 1 + 2q ) ＝ (-2q + q + 1) 上式中，P1和P2分别是输和赢的概率，此处均为0.5。 要使 Rg达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，可得 q= -1/[2×(-2)]=1/4=0.25=25%时，括号中的内容和几何平均收益Rg达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。 图 1 几何平均收益rg和算术平均收益ra随q的变化(略) 对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益 ra和几何平均收益rg随下注比例q的变化如图1所示。容易看出，算术平均收益rg和投资比例q成正比关系；而几何平均收益不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。 上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即 P1=P2=0.5；嬴亏幅度是给定 的（－1和2)。 如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小, P1和P2皆不等于0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为r1小于0和r2大于0)， 这时几何平均收益等于 P1 P2 Rg = (1 + r1q) ( 1 + r2q ) 则这时最优比例如何求法？ 现在我们用 H表示资金翻一番数目， 如果Rg=2， 则H=1; 如果Rg不等于2呢? 我们可以用log2Rg表示翻番数， 即 H=log2Rg=P1log2(1+r1q)+P2log2(1+r2q) 这一公式很象通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数 H叫做增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例是 q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)=(P1r1+P2r2)/|r1r2|. 注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是 1到6；出1，2亏一倍，出3，4，5，6嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= －1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。 （以下为本人所写） 从以上数学推导可以知道，我们平时经常听到的“亏小赢大”是有严格而完美的数学依据的。假设我们可以通过观察一段长期的历史走势和数据，得出自己交易系统的盈利概率有多少，也就是P1、P2值，再设定自己可接受的止损和止赢数值，即r1、r2值，最后考虑期货投机的杠杆因素，就可以得出一个接近最佳的下注（持仓）比例q。这个q值，当然不是静态的，是会也应该要因个体的操作水平、行情时期、投机品种的不同而做一定变化的。这个理想情况下最佳下注比例q的存在意义在于，将一个模糊的定性概念实现一定程度的定量化，为我们的期货以及其他投机活动提供一个科学的数理分析和指导工具。 |
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