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话题：全等三角形证明题 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD B
D 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD? 1AB 2 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE 证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD B D 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD? 1
AB 9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF。 ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C B 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠
BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD， ∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC， ∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。 14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： △AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C. 15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB A D 在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP
∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。 16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明： 在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上， 在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON ∴△AON≌△BON （SAS） ∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． P E D 做
BE的延长线，与AP相交于F点， ∵PA//BC BA∴∠
PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB， ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A CDB 延长AC到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF． 23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： A D C 证明： ∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． F AEB E 证明： BC∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 DEFC AB 证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF， 在△AED和△BFC中， ∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS） 26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 A F B EMC 证明： ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。 A D BC ∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC 28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF A D BC F 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 A FB E CD ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上
. 证明：连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM（SAS） ∴CF=BE 31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF ∴：△ABE≌△CDF（SAS） 32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。 连接BD； ∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DC E\F是中点
∴DE=BF； ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
AC 证明： 在△ADC，△ABC中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC 34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，
C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA） 35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． E 证明： A ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD 36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． 证明： ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF 37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？ ∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵
AC⊥BC于C，DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA） ∴AD=AB=5 38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
A C 证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME⊥AB，MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中 ∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC． 39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB≌△CBA 证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB≌△CBA 40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D， 求证： ①?ADC≌?CEB；BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， ②DE?AD?BE； (2)当直线MN
绕点C旋转到图
2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （1） ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE． （2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE 41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF E C （1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF； （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， 在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF． 42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明： （1） ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN （2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF 44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明： ∵AD是△ABC的中线 BD=CD ∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。 46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD． D B C 证明： ∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o 又∵AB=CD，BF=DE ∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL） ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD 47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD AD 1 34 CB ∵,∠3=∠4 ∴OB=OC 在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC △AOB≌△DOC ∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB △ACB≌△DBC ∴AB=CD 48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论. E CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE 49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. ∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE，AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 图9 E B 作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45o,∠BCH=45o ∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE |
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