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数姐有话 对于初二的同学来说，三角形与全等三角形，才是同学们正式接触几何，而在这块内容中，辅助线又是必不可少的，所以，希望同学们好好学习这块内容，对于以后学习更难的几何知识打下基础！ 例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证明： （一）：延长BD交AC于E， ∵∠BDC是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结AD，并延长交BC于F ∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE＋CF＞EF 证明： 在DA上截取DN = DB，连结NE、NF， 则DN= DC 在△BDE和△NDE中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明： 延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM △BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180° ∴∠3 ＋∠2 = 90° 即∠EDF = 90° ∴∠FDM = ∠EDF = 90° △EDF和△MDF中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF ∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF （此题也可加倍FD，证法同上） 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明： 延长AD至E，使DE = AD，连结BE ∵AD为△ABC的中线 ∴BD = CD 在△ACD和△EBD中 BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d 例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 证明： ⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN 在△APN和△APC中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△APN≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在△ABP和△AMP中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC 练习： 1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AE＋CD 2.已知，如图，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB＋CD ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF 证明：∵∠ADF =∠B＋∠3 ∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4 ∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF和△AEF中 ∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF 例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE 证明：
∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90° ∴∠2 = ∠3 ∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90° 在△ABD和△CAE中， ∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E 求证：BE = CF 证明：（略）
例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B 求证：AD = BC
证明：分别延长DA、CB交于点E ∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90° 在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E ∴△DBE≌△CAE ∴ED = EC，EB = EA ∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD 证明：
∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠1 = ∠2 在△ABC和△CDA中， ∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA ∴AB = CD 练习： 已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF
例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E 求证：BD = 2CE
证明： 分别 延长BA、CE交于F ∵BE⊥CF ∴∠BEF =∠BEC = 90° 在△BEF和△BEC中 ∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE =1/2CF ∵∠BAC = 90° , BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90° ∠1＋∠BDA = 90° ∠1＋∠BFC = 90° ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE 练习： 已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D， 求证：AB－AC = 2CD
例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD， 求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC，过程略）
例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB 证明：分别取AD、BC中点N、M， 连结NB、NM、NC（过程略）
例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD， 求证：∠BAP＋∠BCP = 180°
证明：过P作PE⊥BA于E ∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD 在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD ∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD ∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90° 在△PEA和△PDC中 PE = PD ∠PEB =∠PDC AE =CD ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP ∵∠BAP＋∠EAP = 180° ∴∠BAP＋∠BCP = 180° 练习： 1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线
2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20°，求∠CED的度数。
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D， 求证：∠BAC = 2∠DBC
证明： （方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90° ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90° ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：DE = DF
证明：连结AD. ∵D为BC中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC 证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180° ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180° ∴∠BCA＋∠ACN = 90° 即∠BCN = 90° ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）
过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE 求证：DE⊥BC
证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略） （证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略） ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数. 解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE 则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80°－60° = 20° ∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80° ∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50° ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80°－50° = 30° ∵∠PCB = 30° ∴∠PCB = ∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60° ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10° ∵∠PBC = 10° ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40° ∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70° 解法二： 以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：
以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上 ∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC ∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50° ∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40° ∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70° ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例： 已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C， 求证：AB＋BD = AC
证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE 则∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E = ∠C 在△AED和△ACD中 ∠E = ∠C ∠1 = ∠2 AD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC ∵BD⊥AC ∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o ∴AE⊥BC ∴∠ABC＋∠BAE = 90o ∵∠CAE＋∠C= 90o ∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略） 例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E 求证：BF =1/2FC 证明：连结AF，则AF = BF ∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o ∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30° ∴∠FAB = 30° ∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90° 又∵∠C = 30° ∴AF = 1/2FC ∴BF =1/2FC 练习： 已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N 求证：BM = CN
例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D 求证：CD = AB＋BD 证明：
（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE ∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C 又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC ∴∠C =∠EAC ∴AE = CE 又∵CD = DE＋CE ∴CD = BD＋AB （二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略）
例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD 求证：△ABC为直角三角形
证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE， ∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC ∵BC = 2AB，BD = CD ∴BD = AB 在△ABE和△DBE中 AB = BD ∠ABE =∠EBC BE = BE ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE ∵∠BDE = 90° ∴∠BAE = 90° 即△ABC为直角三角形 例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90°，DE为BC的垂直平分线 求证：BE2－AE2 = AC2
证明：连结CE，则BE = CE ∵∠A = 90° ∴AE2＋AC2 = EC2 ∴AE2＋AC2= BE2 ∴BE2－AE2 = AC2 练习： 已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P为BC上一点 求证：PB2＋PC2= 2PA2
例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根号2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D ∴∠B＋∠BAD = 90°， ∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°， ∴AD = BD ∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根号2 ∴AD = 1 ∵∠C = 30°，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2 |
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