有二倍角时常用的辅助线
例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，求证：AB＋BD = AC
证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE，则∠BED = ∠BDE
∵∠ABD =∠E＋∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∵∠ABC = 2∠C
∴∠E = ∠C
在△AED和△ACD中
∠E = ∠C，∠1 = ∠2，AD = AD
∴△AED≌△ACD
∴AC = AE
∵AE = AB＋BE
∴AC = AB＋BE
即AB＋BD = AC
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC，求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD ＋∠C = 90°
∴∠CAE＋∠C= 90°
∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90°
∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE = 90°
∵∠CAE＋∠C= 90°
∠BAE = ∠CAE
∴∠ABC = ∠ACB
例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC，求证：∠ABC = ∠ACB
这道题的证明只需要作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F。比较简单，在这里就不证明了，大家有兴趣可以自己在评论里面证明。
特殊角的情况就这么多，下面给大家说下垂直平分线的规律。
有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E
求证：BF =FC
证明：连结AF，则AF = BF
∴∠B =∠FAB
∵AB = AC
∴∠B =∠C
∵∠BAC = 120°
∴∠B =∠C∠BAC =(180°－∠BAC) = 30°
∴∠FAB = 30°
∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30°=90°
又∵∠C = 30°
∴AF =FC
∴BF =FC
垂直平分线的这个性质，以及这个常用的做题方法很常用到，下面给大家分享一个题作为练习，大家可以把答案在评论里留言。
练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N，求证：BM = CN
有垂直时常构造垂直平分线
例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD = AB＋BD
证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE
∴∠B =∠AEB
∵∠B = 2∠C
∴∠AEB = 2∠C
又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC
∴∠C =∠EAC
∴AE = CE
又∵CD = DE＋CE
∴CD = BD＋AB
上面截取DE = DB，就构造出了一个垂直平分线。这道题还可以延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC。这里不再作证明。
有中点时常构造垂直平分线
例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD。求证：△ABC为直角三角形
证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，
∴∠C =∠EBC
∵∠ABC = 2∠C
∴∠ABE =∠EBC
∵BC = 2AB，BD = CD
∴BD = AB
在△ABE和△DBE中
AB = BD，∠ABE =∠EBC，BE = BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE = ∠BDE
∵∠BDE = 90°
∴∠BAE = 90°
即△ABC为直角三角形
当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.
例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90°，DE为BC的垂直平分线，求证：BE²－AE²= AC²
证明：连结CE，则BE = CE
∵∠A = 90°
∴AE²＋AC²= EC²
∴AE²＋AC²= BE²
∴BE²－AE² = AC²
利用勾股定理证明，出现不是太多，给大家一个练习题巩固一下。
练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P为BC上一点求证：PB²＋PC²= 2PA²
条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中
例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =√2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D
∴∠B＋∠BAD = 90°，
∵∠B = 45°，∠B = ∠BAD = 45°，
∴AD = BD
∵AB² = AD²＋BD²，AB =√2
∴AD = 1
∵∠C = 30°，AD⊥BC
∴AC = 2AD = 2
这道题就是把∠B、∠C放在两个直角三角形中，很快题目就解答出来了。
今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区踊跃留言，这样我以后更加有动力分享更多的干货，谢谢！
