草根思索|透过'一题多解'把握解法本质

今天很高兴与来自于虹口区的张宏伟老师相识，他与我分享了2015学年浦东一模试卷第23题几何证明题他研究出的19种解法（详见下一贴），十分钦佩张老师对于数学问题研究之深入，继而当我仔细学习了张老师的19种解法后，一个疑问浮现脑海，我们到底希望通过“一题多解”教给孩子什么？

2015学年浦东一模试卷第23题

由∠B=∠ECB，∠ADC=∠ACD

可知：△ABC∽△FCD

FD:AC=FD:AD=1:2

即F是线段AD中点

同时点D是边BC中点

目标是求证FC=3EF

（重新画图，标注条件如下）

19种解法分类

深入思考，梅内劳斯定理、塞瓦定理是怎样证明的？其中一种方法就是通过添加平行线证明！而一般类似的比例线段问题都可以运用“面积法”，倒是运用相似三角形证明与其他证明不尽相同。

（进一步修改分类图）

进一步思考：

（1）同样加“平行线”

解法03、07、08、09、10、12、13、19，后续解法相对“容易”

解法02、05、06、11、14、16、18，后续解法相对“麻烦”

如果寻找原因的话，一般所添加的从某个交点出发的平行线段的另一个端点不宜落在与条件、结论相关的线段上。具体可查阅下文：

草根研究|一道普通比例线段问题的三种不同“玩法”

（2）这类问题，草根称它为“定点分线段”问题，这类问题一般形式是，给出两条线段上定点分线段的比例从而计算另一条线段上的定点分线段的比例。所以这道题的思路即可总结为以下模式：

2015学年杨浦一模试卷第18题

解读条件：

由于翻折且M是边BC的中点，

∴ AB=BM=MC，AE:EC=1:2

（注：利用角平分线的性质AB:BC=AE:EC）

求∠EBC的正切值，

由于AM⊥BE即求PM:BM，

由于BM=1/2AM，AM=BE

本题的关键：求点P分线段BE的比例

（注：点P即AM与BE的交点）

后面的故事就不用多说了吧10+种解法任君秀

草根认为，一题多解是培养学生数学素养的重要方法，但我们既要能够“一题多解”也要能够“多解归一”即发现不同解法中本质属性，而“多解归一”的重要一步就是要将不同的解法进行分类思考，从而得到解决一类问题的基本模式。带领学生一起完成从“一题多解”到“多解归一”的过程，也能很好地锻炼学生思维，学会反思